Иррациональность суммы ряда с факториалами

[mathematician123]

Пусть $\{a_n\}_{n = 1}^{\infty}$ - последовательность целых положительных чисел,

$$A = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_n}{n!}$$

Докажите, что
а) Если для всех $n$, начиная с некоторого, выполнено неравенство $a_n < n - 1$, то число $A$ иррациональное.

б) Если для всех $n$, начиная с некоторого, выполнено неравенство $a_n < \frac{199}{100}n$, то число $A$ будет рациональным тогда и только тогда, когда $a_n = n - 1$ для всех $n$, начиная с некоторого.

[Shadow]

Для начала докажем, что $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{n-1}{n!}=1$. Факт наверное известный, но не мне, так что.

Пусть $F(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{(n-1)x^{n-2}}{n!}$. Наше значение будет при $x=1$

$\int F(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{x^{n-1}}{n!}=\dfrac 1 x \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{n!}$=\dfrac 1 x (e^x-1)

Константу не пишем, потому что сразу диференцируем.

$F(x)=\left(\dfrac{e^x-1}{x}\right)'=\dfrac{e^x(x-1)+1}{x^2}$. Кажется, то что надо.

Для пункта а) доказательство проведем аналогично доказательству иррациональности $e$. От противного - допустим, что существуют целые $p,q$:

Пусть $\dfrac p q=\dfrac{a_1}{1!}+\dfrac{a_2}{2!}+\ldots +\dfrac{a_q}{q!}+\left(\dfrac{a_{q+1}}{(q+1)!}+\dfrac{a_{q+2}}{(q+2)!}+\ldots \right)$

Умножим обе части на $q!$

$p(q-1)!=N+\left(\dfrac{a_{q+1}}{q+1}+\dfrac{a_{q+2}}{(q+1)(q+2)}+\dfrac{a_{q+3}}{(q+1)(q+2)(q+3)}+ \ldots \right)$

Сумма в скобках должна быть целое, но оно не может быть, потому что сумма меньше 1 при условии $a_n<n-1$.

Для доказательства сравним сумму с суммой мажорирущего ряда

$S_q=\dfrac{q}{q+1}+\dfrac{q+1}{(q+1)(q+2)}+\dfrac{q+2}{(q+1)(q+2)(q+3)}+\ldots$

Которая при любом $q$ равна единице.

$S_{q}=\dfrac{1}{q+1}\left(q+S_{q+1}\right)$

Или, $S_{q+1}=(q+1)S_q-q$

И так как вначале доказали, что $S_1=1$, то $S_q=1$ для любого натурального $q$

Пункт б) рассмотрим потом (если удастся).

[zykov]

Для олимпиадной задачи выглядит как-то зубодробительно.

[mathematician123]

Shadow в сообщении #1643465 писал(а):

Для начала докажем, что $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{n-1}{n!}=1$.

$$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n - 1}{n!} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(n - 1)!} - \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n!} = e - (e - 1) = 1$$

zykov в сообщении #1643467 писал(а):

Для олимпиадной задачи выглядит как-то зубодробительно.

Пункт а) аналогичен доказательству иррациональности $e$, просто нужно более аккуратно оценить остаточный член. Вот пункт б) оказался сложнее, чем я думал. На черновике доказательство выглядело коротким, но когда я вчера решил оформить его в latex, получилось две страницы.

-- 21.06.2024, 15:50 --

Кстати, в пункте б) достаточно выполнения неравенства $a_n < 2n - 2$.

[Shadow]

mathematician123 в сообщении #1643488 писал(а):

$$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n - 1}{n!} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(n - 1)!} - \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n!} = e - (e - 1) = 1$$

Как говорится, перемудрил.

-- 21.06.2024, 15:19 --

mathematician123 в сообщении #1643488 писал(а):

Кстати, в пункте б) достаточно выполнения неравенства $a_n < 2n - 2$.

Ну тогда остаточный член будет больше 1, но меньше 2 - все равно не целое.
Упс, насчет больше 1 поспешил.