Для начала докажем, что
![$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{n-1}{n!}=1$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{n-1}{n!}=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/7/f273ac7d6256d2ac2fdf558bd630e01d82.png)
. Факт наверное известный, но не мне, так что.
Пусть
![$F(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{(n-1)x^{n-2}}{n!}$ $F(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{(n-1)x^{n-2}}{n!}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/3/753541ad2de2a681635160499fc6252482.png)
. Наше значение будет при
![$x=1$ $x=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/1/f41f51aeb9528548f1409a3a0ec6164082.png)
![$\int F(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{x^{n-1}}{n!}=\dfrac 1 x \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{n!}$=\dfrac 1 x (e^x-1) $\int F(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{x^{n-1}}{n!}=\dfrac 1 x \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{n!}$=\dfrac 1 x (e^x-1)](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/5/665f0131b7e8a8b300a35cb1a3a56b4882.png)
Константу не пишем, потому что сразу диференцируем.
![$F(x)=\left(\dfrac{e^x-1}{x}\right)'=\dfrac{e^x(x-1)+1}{x^2}$ $F(x)=\left(\dfrac{e^x-1}{x}\right)'=\dfrac{e^x(x-1)+1}{x^2}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/1/4e133915f42491dc29c19a0a654fb4da82.png)
. Кажется, то что надо.
Для пункта а) доказательство проведем аналогично доказательству иррациональности
![$e$ $e$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cd34385ed61aca950a6b06d09fb50ac82.png)
. От противного - допустим, что существуют целые
![$p,q$ $p,q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/e/9ee547e0827e5bb29b5feb9f5f57419382.png)
:
Пусть
![$\dfrac p q=\dfrac{a_1}{1!}+\dfrac{a_2}{2!}+\ldots +\dfrac{a_q}{q!}+\left(\dfrac{a_{q+1}}{(q+1)!}+\dfrac{a_{q+2}}{(q+2)!}+\ldots \right)$ $\dfrac p q=\dfrac{a_1}{1!}+\dfrac{a_2}{2!}+\ldots +\dfrac{a_q}{q!}+\left(\dfrac{a_{q+1}}{(q+1)!}+\dfrac{a_{q+2}}{(q+2)!}+\ldots \right)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/2/6a2a2a11528fc539ea8afc043ee9c5bf82.png)
Умножим обе части на
![$q!$ $q!$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/4/d246a3ebc8beb19dc173dcd5f5ebb52c82.png)
![$p(q-1)!=N+\left(\dfrac{a_{q+1}}{q+1}+\dfrac{a_{q+2}}{(q+1)(q+2)}+\dfrac{a_{q+3}}{(q+1)(q+2)(q+3)}+ \ldots \right)$ $p(q-1)!=N+\left(\dfrac{a_{q+1}}{q+1}+\dfrac{a_{q+2}}{(q+1)(q+2)}+\dfrac{a_{q+3}}{(q+1)(q+2)(q+3)}+ \ldots \right)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/e/1ee93c2ced539a59a8d6b47a850aef8f82.png)
Сумма в скобках должна быть целое, но оно не может быть, потому что сумма меньше 1 при условии
![$a_n<n-1$ $a_n<n-1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/4/5d4df5405a71090816fdff3e69cd33fa82.png)
.
Для доказательства сравним сумму с суммой мажорирущего ряда
![$S_q=\dfrac{q}{q+1}+\dfrac{q+1}{(q+1)(q+2)}+\dfrac{q+2}{(q+1)(q+2)(q+3)}+\ldots$ $S_q=\dfrac{q}{q+1}+\dfrac{q+1}{(q+1)(q+2)}+\dfrac{q+2}{(q+1)(q+2)(q+3)}+\ldots$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/2/7a2ff4934b572e15076106743a6b956d82.png)
Которая при любом
![$q$ $q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/c/d5c18a8ca1894fd3a7d25f242cbe889082.png)
равна единице.
![$S_{q}=\dfrac{1}{q+1}\left(q+S_{q+1}\right)$ $S_{q}=\dfrac{1}{q+1}\left(q+S_{q+1}\right)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/c/f9cffb389d1591a7d3c20b7297ee652d82.png)
Или,
![$S_{q+1}=(q+1)S_q-q$ $S_{q+1}=(q+1)S_q-q$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/2/ac2cbe4e2d7f49f23d6d1d0c27db84b982.png)
И так как вначале доказали, что
![$S_1=1$ $S_1=1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acfd92c9477a68585710a0f20ca88a5a82.png)
, то
![$S_q=1$ $S_q=1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/f/91f4d4509683ce422c220f35862c27b382.png)
для любого натурального
![$q$ $q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/c/d5c18a8ca1894fd3a7d25f242cbe889082.png)
Пункт б) рассмотрим потом (если удастся).