Вопрос по 4 проблеме Ландау

[BAU_MAN]

Доказан ли на сегодня факт о числах вида
a^2 + 1, а именно, что такие числа никогда
не делятся на простые числа вида 4k+3?

[vicvolf]

Все 4 проблемы Ландау до сих пор не решены
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1 ... 0%B0%D1%83

[BAU_MAN]

Да, то что не решены знаю. Меня интересовал именно один факт, связанный с этими же числами вида a^2 + 1. А именно то, что они никогда не делятся на простые числа p вида p=4k+3. Существует ли доказательство/опровержение данного утверждения? Я просто ничего на сей счёт не нашёл. Решил задать вопрос на математическом форуме.

[Батороев]

BAU_MAN
Это известный факт, касающийся всех чисел, являющихся суммой квадратов двух чисел.

[BAU_MAN]

Я знаю только про рождественскую теорему Ферма и следствие из нее, которое утверждает :
Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов (целых чисел) тогда и только тогда, когда ни одно простое число вида 4k+3 не входит в его разложение на простые множители в нечётной степени.
Наши числа a^2 + 1 очевидно представимы всегда в виде двух суммы квадратов и значит утверждение работает. Но оно более слабое и не утверждает полного отсутствия 4k+3, вот в чем проблема.
Ну или есть более сильное утверждение про полное отсутствие 4k+3 и его доказательство, но я к сожалению не нашёл ничего(

[Батороев]

BAU_MAN в сообщении #1643092 писал(а):

Наши числа a^2 + 1 очевидно представимы всегда в виде двух суммы квадратов и значит утверждение работает. Но оно более слабое и не утверждает полного отсутствия 4k+3, вот в чем проблема.

Никакой проблемы не вижу. Доказано "для всех", значит, "для всех".

[BAU_MAN]

В утверждении говорится только о том, что 4k+3 если и содержится в разложении, то только в четной степени. То есть этого по идее недостаточно. Тут либо другой путь доказательства нужен, либо в этом варианте показать, почему не может быть 4k+3 во 2, 4 и тд степенях, а только в 0.

[dgwuqtj]

BAU_MAN в сообщении #1643050 писал(а):

Доказан ли на сегодня факт о числах вида
a^2 + 1, а именно, что такие числа никогда
не делятся на простые числа вида 4k+3?

Конечно. Если бы делилось, это бы означало, что в области главных идеалов $\mathbb Z[i]$ элемент $a \pm i$ делится на $p = 4k + 3$, так как простые натуральные числа вида $4k + 3$ остаются простыми в $\mathbb Z[i]$. Ну и видно, что оно не делится.

[BAU_MAN]

Спасибо за ответ Вам.

[Батороев]

BAU_MAN в сообщении #1643103 писал(а):

В утверждении говорится только о том, что 4k+3 если и содержится в разложении, то только в четной степени.

Но это уже не простое, а составное число.)

[Ende]

BAU_MAN
Оформляйте формулы в $\TeX$: не a^2 + 1, но $a^2 + 1$.

[vicvolf]

BAU_MAN в сообщении #1643090 писал(а):

Меня интересовал факт, связанный с числами вида a^2 + 1, что они никогда не делятся на простые числа p вида p=4k+3.

Тогда не совсем понятно название темы - "Вопрос по 4 проблеме Ландау"?