2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вопрос по 4 проблеме Ландау
Сообщение16.06.2024, 23:50 


21/12/23
5
Доказан ли на сегодня факт о числах вида
a^2 + 1, а именно, что такие числа никогда
не делятся на простые числа вида 4k+3?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по 4 проблеме Ландау
Сообщение17.06.2024, 10:09 


23/02/12
3357
Все 4 проблемы Ландау до сих пор не решены
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1 ... 0%B0%D1%83

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по 4 проблеме Ландау
Сообщение17.06.2024, 11:48 


21/12/23
5
Да, то что не решены знаю. Меня интересовал именно один факт, связанный с этими же числами вида a^2 + 1. А именно то, что они никогда не делятся на простые числа p вида p=4k+3. Существует ли доказательство/опровержение данного утверждения? Я просто ничего на сей счёт не нашёл. Решил задать вопрос на математическом форуме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по 4 проблеме Ландау
Сообщение17.06.2024, 11:53 


23/01/07
3497
Новосибирск
BAU_MAN
Это известный факт, касающийся всех чисел, являющихся суммой квадратов двух чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по 4 проблеме Ландау
Сообщение17.06.2024, 12:21 


21/12/23
5
Я знаю только про рождественскую теорему Ферма и следствие из нее, которое утверждает :
Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов (целых чисел) тогда и только тогда, когда ни одно простое число вида 4k+3 не входит в его разложение на простые множители в нечётной степени.
Наши числа a^2 + 1 очевидно представимы всегда в виде двух суммы квадратов и значит утверждение работает. Но оно более слабое и не утверждает полного отсутствия 4k+3, вот в чем проблема.
Ну или есть более сильное утверждение про полное отсутствие 4k+3 и его доказательство, но я к сожалению не нашёл ничего(

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по 4 проблеме Ландау
Сообщение17.06.2024, 12:47 


23/01/07
3497
Новосибирск
BAU_MAN в сообщении #1643092 писал(а):
Наши числа a^2 + 1 очевидно представимы всегда в виде двух суммы квадратов и значит утверждение работает. Но оно более слабое и не утверждает полного отсутствия 4k+3, вот в чем проблема.

Никакой проблемы не вижу. Доказано "для всех", значит, "для всех".

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по 4 проблеме Ландау
Сообщение17.06.2024, 13:00 


21/12/23
5
В утверждении говорится только о том, что 4k+3 если и содержится в разложении, то только в четной степени. То есть этого по идее недостаточно. Тут либо другой путь доказательства нужен, либо в этом варианте показать, почему не может быть 4k+3 во 2, 4 и тд степенях, а только в 0.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по 4 проблеме Ландау
Сообщение17.06.2024, 13:15 
Заслуженный участник


07/08/23
1098
BAU_MAN в сообщении #1643050 писал(а):
Доказан ли на сегодня факт о числах вида
a^2 + 1, а именно, что такие числа никогда
не делятся на простые числа вида 4k+3?

Конечно. Если бы делилось, это бы означало, что в области главных идеалов $\mathbb Z[i]$ элемент $a \pm i$ делится на $p = 4k + 3$, так как простые натуральные числа вида $4k + 3$ остаются простыми в $\mathbb Z[i]$. Ну и видно, что оно не делится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по 4 проблеме Ландау
Сообщение17.06.2024, 13:20 


21/12/23
5
Спасибо за ответ Вам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по 4 проблеме Ландау
Сообщение17.06.2024, 13:54 


23/01/07
3497
Новосибирск
BAU_MAN в сообщении #1643103 писал(а):
В утверждении говорится только о том, что 4k+3 если и содержится в разложении, то только в четной степени.

Но это уже не простое, а составное число.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по 4 проблеме Ландау
Сообщение17.06.2024, 14:58 
Админ форума


02/02/19
2522
 !  BAU_MAN
Оформляйте формулы в $\TeX$: не a^2 + 1, но $a^2 + 1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по 4 проблеме Ландау
Сообщение18.06.2024, 10:16 


23/02/12
3357
BAU_MAN в сообщении #1643090 писал(а):
Меня интересовал факт, связанный с числами вида a^2 + 1, что они никогда не делятся на простые числа p вида p=4k+3.
Тогда не совсем понятно название темы - "Вопрос по 4 проблеме Ландау"?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group