Помогите разобраться в формуле оператора в другом базисе

[mattspr]

В лекции http://mathprofi.ru/linejnye_preobrazovanija.html для перевода оператора $A$ в другой базис указана формула $A' = T^{-1}AT$, где $T$ матрица перехода из базиса $Е$ в $Е'$.

Возьмем вектор $x$ из $E$. $Ax = y$. Применив $A$ к $x$ получили вектор $y$ в $E$.

$Tx = x'$ получили x в базисе $E'$. $A'x' = y'$. Заменим $A'$ по формуле на $T^{-1}ATx' = y'$.

Так вот, судя по этому нужно зачем то $x'$ перевести в $E'$ с помощью $T$, хотя он же уже в $E'$, Потом применяем оператор $A$ на векторе из $E'$ хотя а должна работать на $E$, а потом с $T^{-1}$ возвращаем в $E$. Но у нас вектор $y'$ который в $E'$.
Как будто бы правильнее будет если отзеркалить формулу.
и второе разложим еще больше формулу $A'x' = y'$, $T^{-1}ATx' = y'$, $T^{-1}ATTx = y'$, $T^{-1}T^{-1}ATTx = y$, какой геом смысл в $TT$ и $T^{-1}T^{-1}$

[mattspr]

UPD: судя по видео https://www.youtube.com/watch?v=PApnZfX5gMI чтобы перевести $x$ в другой базис к нему надо применить не $T$, а $T^{-1}$. И этот момент не понятен, T же по идее переводит базис в новый базис, почему не переводит вектор из старого базиса в новый?

[dgwuqtj]

Пусть у вас есть базисы $\mathcal B = \{b_1, \ldots, b_n\}$, $\mathvcal B' = \{b'_1, \ldots, b'_n\}$, и матрица перехода $T$. Раз она переводит первый базис во второй, то $b'_i = \sum_j b_j t_{ji}$ (векторы ставим слева от скаляров). В матричном виде это ещё можно записать как $\mathcal B' = \mathcal B T$, где $\mathcal B$ и $\mathcal B'$ надо понимать как строки из векторов.

Вектор $v$ раскладывается как-то так: $v = \sum_i b_i x_i = \sum_i b'_i x'_i$, ну или в матричном виде $v = \mathcal B x = \mathcal B' x'$. Я тут для удобства обозначил по-разному сам вектор и соответствующие вектор-столбцы в разных базисах. Так как $\mathcal B x = \mathcal B' x' = \mathcal B T x'$ и $\mathcal B$ является базисом, то $x = T x'$ и $x' = T^{-1} x$.

[mattspr]

dgwuqtj в сообщении #1641811 писал(а):

В матричном виде это ещё можно записать как $\mathcal B' = \mathcal B T$

А почему не $\mathcal B' = T \mathcal B $ ? Мы же оператор применяем слева $Ax=y$ например, матрица перехода по идее тоже оператор в каком-то смысле или нет? у вас дальше в примере $Tx'$. Я видимо этот момент не понимаю, почему к векторам применяется слева, а к базисам справа.

[dgwuqtj]

Ну нет, матрица перехода — это не оператор. Оператор $f \colon E \to E'$ (со значениями в, возможно, другом пространстве) на базисе так и будет действовать, $f \mathcal B = \mathcal B' F$, где $F = (F_{ij})_{ij}$ — матрица $f$. Другими словами, $f(b_i) = \sum_j b'_j F_{ji}$, мы же вектора $b'_j$ должны домножать на скаляры справа. Если же оператор применять к вектору $v = \mathcal B x$, то получится $f(v) = f \mathcal B x = \mathcal B' F x$, то есть в координатах как раз $x \mapsto F x$. Надо просто различать геометрические объекты (скаляры, векторы, операторы, линейные формы) и матрицы.

[мат-ламер]

mattspr в сообщении #1641815 писал(а):

Я видимо этот момент не понимаю, почему к векторам применяется слева, а к базисам справа.

В тему не вникал, но хочу спросить, а вы точно уверенны в формулировке вопроса? Может с одной стороны сравниваются не вектора, а координаты векторов? А с другой стороны, не базисы, а векторы базисов?

[mattspr]

Спасибо, вроде разобрался, действительно путал между собой понятия