Матрица перехода к новому базису в определении тензора

[lazarius]

Enceladoglu в сообщении #1641623 писал(а):

2) Скорее всего не для математиков, а для инженера/физика
3) Я надеюсь все таки что-то на русском найти)

Вот такая у меня есть:

http://fizmatkniga.org/catalog/st-eaeef ... duct-7569/

Тензорное исчисление, Коренев Г.В.

1. Ортогональные тензоры
2. Тензорный анализ в трехмерном евклидовом пространстве
3. Поверхность как двумерное риманово пространство
4. Четырехмерные тензоры теории относительности

Сам Георгий Васильевич работал на кафедре теор. механики МФТИ.

Мне не очень нравится подход в этой книжке. И обозначения и терминология часто отличаются от современных. Но по охвату материала это то что нужно инженеру, механику, физику.

-- 06.06.2024, 10:07 --

мат-ламер в сообщении #1641470 писал(а):

Про тензор перехода от базиса к базису не обязательно думать как про матрицу.

Матрица преобразования, она - матрица. А в каком смысле ее можно считать тензором совсем не понятно. :)

[мат-ламер]

lazarius в сообщении #1641626 писал(а):

Матрица преобразования, она - матрица. А в каком смысле ее можно считать тензором совсем не понятно. :)

Если честно, вообще не понял, что вы написали. И какое это отношение имеет к написанною мной. Но, поскольку вы меня процитировали, я всё же поясню сказанною мною ранее. Пусть у нас есть некое преобразование координат. С одной стороны, мы можем как-то выразить линейно векторы нового базиса через векторы старого (и наоборот). С другой стороны, если мы возьмём некий произвольный вектор, то мы можем как-то выразить его координаты в старом базисе через его координаты в новом базисе (и наоборот). И закон преобразования этих координат будет линейным оператором. А линейный оператор, это тензор ранга $2$ типа $(1,1)$ . При желании в соответствующих координатах мы этот линейный оператор (и тензор тоже) можем записать как матрицу. Но можем этого и не делать. Например, можем остановиться на полпути, получить некий набор чисел $b^i_j$ , зависящий от двух индексов. А как этот набор чисел расположить - квадратиком, линейно или ещё как-нибудь - нас совершенно не волнует.

Это я пояснил свою мысль. А что матрица, это матрица, я с вами совершенно согласен. А в каком смысле матрицу можно считать тензором, я не распространялся.

[lazarius]

мат-ламер,
В первом сообщении этой темы предъявлено определение тензора, то есть, это штука которая преобразуется по формуле из первого сообщения. Как я понял, по-вашему $b$ здесь тензор. То есть мы имеем определение тензора $A$ через тензор $b$. Я привык к тому что понятия определяются через уже известные понятия.

Если все же обсуждается матрица преобразования $b$ то хотелось бы понять почему это тензор в смысле этого самого определения в первом сообщении.

P.S. В первом сообщении опечатка - контравариантные индексы тензора $A$ должны бегать до $k_q$.

[мат-ламер]

lazarius
Кажется я начал вас понимать. В своём посту я нечаянно применил выражение "тензор преобразования координат". Вообще-то тот мой мой пост не про тензор и слово "тензор" оттуда можно убрать. Смысл там был в том, что совокупность чисел $b_j^i$ не обязательно мыслить как матрицу. Хотя можно и как матрицу. Можно это мыслить просто как дважды проиндексированный набор чисел. Допустим, у нас есть некоторое пространство и два базиса в нём - старый и новый. Допустим, координаты одного базиса выражаются через координаты другого линейно как- то так: $y^i=b^i_jx^j$ . При пристальном взгляде в эту формулу я вижу в ней несколько строк. В каждой из строк я вижу несколько умножений и сложений. Матрицы тут я не вижу. Хотя, если вглядываться под микроскопом, то матрицу в принципе можно себе и вообразить. Вопрос - зачем? А если эту совокупность чисел надо будет умножить на некий тензор высокого ранга? Так что, этот новый тензор представлять себе как некую многомерную матрицу? А смысл? Но, если вам так удобно, я не возражаю.

Рассмотрим наше линейное преобразование: $y^i=b^i_jx^j$ . Стоит два вопроса. Можно ли нашу совокупность чисел $b_j^i$ считать линейным оператором? И тензором типа $(1,1)$ ? Тут я высказал предположение, что можно. Для этого рассмотрим новое пространство $R^n$ . И в нём уже два вектора. Первый - с координатами $x_i$ . А второй - с координатами $y_i$ . Тогда наша совокупность чисел задаёт линейный оператор в этом новом пространстве. А значит и тензор типа $(1,1)$ .

Другое дело, что так поступать может и не рекомендуется, чтобы избежать замкнутого круга в определении тензора. Вообще-то я понимаю тензор не так как ТС. Я его мыслю как некую полилинейную функцию. Давайте поступим так. Я посмотрю учебники. А то я могу своей отсебятиной ввести вас в заблуждение. Завтра отпишусь. Пока ничего страшного в написанном не вижу.

[svv]

Enceladoglu
Сейчас определение тензора как набора величин, преобразующихся при замене базиса по определённому закону, считается устаревшим. Во-первых, непонятно, откуда берётся формула преобразования, почему она именно такова. Во-вторых, такое определение не отвечает современному пониманию тензора как единого объекта, к тому же не зависящего от выбора базиса. Оно создаёт прямо противоположное впечатление: набор компонент, искусственно объединённых вместе, да ещё и меняющих значения от базиса к базису. Вместо красивого кристалла, выглядящего по-разному в разных ракурсах — набор прыгающих блох.

В более новых книгах даётся инвариантное определение тензора, не опирающееся на базисы. Например: тензор $\mathsf T$ типа $(^s_r)$ — это скалярная функция от $s$ ковекторов и $r$ векторов, линейная по каждому аргументу. (Предполагается, что понятия вектора и ковектора уже известны.) Для тензора $(^3_2)$ это выглядит так:
$c=\mathsf T(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma},\mathbf a, \mathbf b)$, или в индексной записи $c=T^{ijk}_{\ell m}\,\alpha_i\,\beta_j\,\gamma_k\,a^\ell\,b^m$
Греческими буквами обозначены ковекторы, маленькими латинскими — векторы. При этом сами векторы и ковекторы обозначены полужирным шрифтом, а их компоненты обычным. Число $c$ называется значением тензора $\mathsf T$ на ковекторах $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma}$ и векторах $\mathbf a, \mathbf b$. Порядок важен.

Такое определение позволяет естественно ввести основные тензорные операции, в том числе, тензорное произведение $\mathsf A\otimes\mathsf B$. С помощью тензорного произведения из базиса $(\mathbf e_i)$ в исходном векторном пространстве $V$ и базиса $(\boldsymbol{\omega}^{i})$ в сопряжённом пространстве $V^*$ ковекторов можно построить базис в пространстве тензоров типа $(^s_r)$:
$\mathbf e_{i_1}\otimes...\otimes\mathbf e_{i_s}\otimes\boldsymbol{\omega}^{k_1}\otimes...\otimes\boldsymbol{\omega}^{k_r}$
Будем считать, как обычно, что базис $(\boldsymbol{\omega}^{i})$ дуален к базису $(\mathbf e_i)$, т.е. удовлетворяет условию $\boldsymbol{\omega}^{k}(\mathbf e_i)=\delta^k_i$. (Слева значение базисного ковектора на базисном векторе; а ковектор, будучи тензором типа $(^0_1)$ — это скалярная линейная функция от векторного аргумента.)

Произвольный тензор $\mathsf T$ типа $(^s_r)$ раскладывается по этому базису:
$\mathsf T=T^{i_1...i_s}_{k_1...k_r}\;\mathbf e_{i_1}\otimes...\otimes\mathbf e_{i_s}\otimes\boldsymbol{\omega}^{k_1}\otimes...\otimes\boldsymbol{\omega}^{k_r}$
Коэффициенты разложения $T^{i_1...i_s}_{k_1...k_r}$ называются компонентами тензора $\mathsf T$ в данном базисе. А с другой стороны (и это может быть альтернативным определением), компоненты равны значению тензора как функции на базисных ковекторах и векторах:
$T^{i_1...i_s}_{k_1...k_r}=\mathsf T(\boldsymbol{\omega}^{i_1},...,\boldsymbol{\omega}^{i_s},\mathbf e_{k_1},...,\mathbf e_{k_r})$
Принципиально, что в другом базисе у тензора будут другие компоненты, но сам тензор $\mathsf T$ от выбора базиса не зависит.

Теперь у нас есть всё, чтобы вывести закон преобразования компонент при замене базиса самостоятельно. Пусть $(\mathbf e_i)$ и $(\mathbf e_{i'})$ — старый и новый векторные базисы, а $(\boldsymbol{\omega}^{i})$ и $(\boldsymbol{\omega}^{i'})$ — дуальные им старый и новый ковекторные базисы. Пусть $\mathbf e_{i'}=\mathbf e_{i}\,P^{i}{}_{i'}$ (т.е. $P^{i}{}_{i'}$ элементы матрицы перехода). Тогда из дуальности следует $\boldsymbol{\omega}^{i'}=P^{i'}{}_i\,\boldsymbol{\omega}^{i}$, где $P^{i'}{}_i$ — элементы обратной матрицы перехода, от нового к старому базису. Учитывая линейность тензора по каждому аргументу, имеем
$\begin{array}{l}T^{i'_1...i'_s}_{k'_1...k'_r}=\mathsf T({\boldsymbol{\omega}}^{i'_1},...,{\boldsymbol{\omega}}^{i'_s}, {\mathbf e}_{k'_1},...,{\mathbf e}_{k'_r})= \\[0.7ex]=\mathsf T(P^{i'_1}{}_{i_1}\boldsymbol{\omega}^{i_1},...,P^{i'_s}{}_{i_s}\boldsymbol{\omega}^{i_s},P^{k_1}{}_{k'_1}\mathbf e_{k_1},...,P^{k_r}{}_{k'_r}\mathbf e_{k_r})=\\=P^{i'_1}{}_{i_1}...P^{i'_s}{}_{i_s}\;P^{k_1}{}_{k'_1}...P^{k_r}{}_{k'_r}\mathsf T(\boldsymbol{\omega}^{i_1},...,\boldsymbol{\omega}^{i_s},\mathbf e_{k_1},...,\mathbf e_{k_r})=\\=P^{i'_1}{}_{i_1}...P^{i'_s}{}_{i_s}\;P^{k_1}{}_{k'_1}...P^{k_r}{}_{k'_r}\;T^{i_1...i_s}_{k_1...k_r}\end{array}$
Можно было поступить немного иначе и найти закон преобразования из условия
$\mathsf T=T^{i_1...i_s}_{k_1...k_r}\;\mathbf e_{i_1}\otimes...\otimes\mathbf e_{i_s}\otimes\boldsymbol{\omega}^{k_1}\otimes...\otimes\boldsymbol{\omega}^{k_r}=T^{i'_1...i'_s}_{k'_1...k'_r}\;\mathbf e_{i'_1}\otimes...\otimes\mathbf e_{i'_s}\otimes\boldsymbol{\omega}^{k'_1}\otimes...\otimes\boldsymbol{\omega}^{k'_r}$
Можно сказать, что при замене базиса меняются и коэффициенты, причём так, чтобы значение линейной комбинации не менялось.

Думаю, что Вам будет полезен и такой взгляд (какие-то детали пропущены, но если что-то непонятно — задавайте вопросы). Он встречается во многих книгах и считается более современным.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1641681 писал(а):

Давайте поступим так. Я посмотрю учебники. А то я могу своей отсебятиной ввести вас в заблуждение. Завтра отпишусь. Пока ничего страшного в написанном не вижу.

Посмотрел. Особо ничего не нашёл.
lazarius
Пока думаю вот что. Пусть мы хотим посмотреть, как изменятся координаты вектора, если мы поменяем базис. На эту задачу можно посмотреть с другой стороны. Пусть у нас есть два конечномерных линейных пространства с абсолютно одинаковыми элементами, но базисы у них разные. Теперь рассмотрим тождественный оператор из одного пространства в другое. Тождественный в том смысле, что он каждому элементу ставит в соответствие его самого (без связи с их координатами). Теперь будем смотреть, как преобразуются координаты вектора. И мы видим, что наша исходная задача эквивалентна новой - задаче о преобразовании координат вектора при линейном отображении. То есть мы получаем линейный оператор в $R^n$ . А это есть тензор типа $(1,1)$ . Это много где доказывается. Например, в лекциях Гельфанда по линейной алгебре. В связи с этим есть задача 1911 из сборника задач Проскурякова по линейной алгебре. Доказать, что элементы матрицы линейного преобразования в данном базисе образуют тензор. Расширим задачу. Будем рассматривать линейное преобразование из одного пространства в другое (у каждого свой базис). Будет ли это преобразование тензором? Ничего страшного не произойдёт, если у нас будет не один базис, а два. Если что надумаю ещё, отпишусь.

[Enceladoglu]

lazarius
Спасибо, обязательно посмотрю

-- 11.06.2024, 19:43 --

svv
В общих чертах что-то понял, спасибо)

[мат-ламер]

Enceladoglu
Примерно, как у svv , излагается в "Линейной алгебре" Кострикина.