EnceladogluСейчас определение тензора как набора величин, преобразующихся при замене базиса по определённому закону, считается устаревшим. Во-первых, непонятно, откуда берётся формула преобразования, почему она именно такова. Во-вторых, такое определение не отвечает современному пониманию тензора как единого объекта, к тому же не зависящего от выбора базиса. Оно создаёт прямо противоположное впечатление: набор компонент, искусственно объединённых вместе, да ещё и меняющих значения от базиса к базису. Вместо красивого кристалла, выглядящего по-разному в разных ракурсах — набор прыгающих блох.
В более новых книгах даётся инвариантное определение тензора, не опирающееся на базисы. Например: тензор
типа
— это скалярная функция от
ковекторов и
векторов, линейная по каждому аргументу. (Предполагается, что понятия вектора и ковектора уже известны.) Для тензора
это выглядит так:
, или в индексной записи
Греческими буквами обозначены ковекторы, маленькими латинскими — векторы. При этом сами векторы и ковекторы обозначены полужирным шрифтом, а их компоненты обычным. Число
называется значением тензора
на ковекторах
и векторах
. Порядок важен.
Такое определение позволяет естественно ввести основные тензорные операции, в том числе, тензорное произведение
. С помощью тензорного произведения из базиса
в исходном векторном пространстве
и базиса
в сопряжённом пространстве
ковекторов можно построить базис в пространстве тензоров типа
:
Будем считать, как обычно, что базис
дуален к базису
, т.е. удовлетворяет условию
. (Слева значение базисного ковектора на базисном векторе; а ковектор, будучи тензором типа
— это скалярная линейная функция от векторного аргумента.)
Произвольный тензор
типа
раскладывается по этому базису:
Коэффициенты разложения
называются компонентами тензора
в данном базисе. А с другой стороны (и это может быть альтернативным определением), компоненты равны значению тензора как функции на базисных ковекторах и векторах:
Принципиально, что в другом базисе у тензора будут другие компоненты, но сам тензор
от выбора базиса не зависит.
Теперь у нас есть всё, чтобы вывести закон преобразования компонент при замене базиса самостоятельно. Пусть
и
— старый и новый векторные базисы, а
и
— дуальные им старый и новый ковекторные базисы. Пусть
(т.е.
элементы матрицы перехода). Тогда из дуальности следует
, где
— элементы обратной матрицы перехода, от нового к старому базису. Учитывая линейность тензора по каждому аргументу, имеем
Можно было поступить немного иначе и найти закон преобразования из условия
Можно сказать, что при замене базиса меняются и коэффициенты, причём так, чтобы значение линейной комбинации не менялось.
Думаю, что Вам будет полезен и такой взгляд (какие-то детали пропущены, но если что-то непонятно — задавайте вопросы). Он встречается во многих книгах и считается более современным.