2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Матрица перехода к новому базису в определении тензора
Сообщение06.06.2024, 10:03 


27/10/23
78
Enceladoglu в сообщении #1641623 писал(а):
2) Скорее всего не для математиков, а для инженера/физика
3) Я надеюсь все таки что-то на русском найти)

Вот такая у меня есть:

http://fizmatkniga.org/catalog/st-eaeef ... duct-7569/

Тензорное исчисление, Коренев Г.В.

1. Ортогональные тензоры
2. Тензорный анализ в трехмерном евклидовом пространстве
3. Поверхность как двумерное риманово пространство
4. Четырехмерные тензоры теории относительности

Сам Георгий Васильевич работал на кафедре теор. механики МФТИ.

Мне не очень нравится подход в этой книжке. И обозначения и терминология часто отличаются от современных. Но по охвату материала это то что нужно инженеру, механику, физику.

-- 06.06.2024, 10:07 --

мат-ламер в сообщении #1641470 писал(а):
Про тензор перехода от базиса к базису не обязательно думать как про матрицу.

Матрица преобразования, она - матрица. А в каком смысле ее можно считать тензором совсем не понятно. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица перехода к новому базису в определении тензора
Сообщение06.06.2024, 17:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7061
lazarius в сообщении #1641626 писал(а):
Матрица преобразования, она - матрица. А в каком смысле ее можно считать тензором совсем не понятно. :)

Если честно, вообще не понял, что вы написали. И какое это отношение имеет к написанною мной. Но, поскольку вы меня процитировали, я всё же поясню сказанною мною ранее. Пусть у нас есть некое преобразование координат. С одной стороны, мы можем как-то выразить линейно векторы нового базиса через векторы старого (и наоборот). С другой стороны, если мы возьмём некий произвольный вектор, то мы можем как-то выразить его координаты в старом базисе через его координаты в новом базисе (и наоборот). И закон преобразования этих координат будет линейным оператором. А линейный оператор, это тензор ранга $2$ типа $(1,1)$ . При желании в соответствующих координатах мы этот линейный оператор (и тензор тоже) можем записать как матрицу. Но можем этого и не делать. Например, можем остановиться на полпути, получить некий набор чисел $b^i_j$ , зависящий от двух индексов. А как этот набор чисел расположить - квадратиком, линейно или ещё как-нибудь - нас совершенно не волнует.

Это я пояснил свою мысль. А что матрица, это матрица, я с вами совершенно согласен. А в каком смысле матрицу можно считать тензором, я не распространялся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица перехода к новому базису в определении тензора
Сообщение06.06.2024, 19:14 


27/10/23
78
мат-ламер,
В первом сообщении этой темы предъявлено определение тензора, то есть, это штука которая преобразуется по формуле из первого сообщения. Как я понял, по-вашему $b$ здесь тензор. То есть мы имеем определение тензора $A$ через тензор $b$. Я привык к тому что понятия определяются через уже известные понятия.

Если все же обсуждается матрица преобразования $b$ то хотелось бы понять почему это тензор в смысле этого самого определения в первом сообщении.

P.S. В первом сообщении опечатка - контравариантные индексы тензора $A$ должны бегать до $k_q$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица перехода к новому базису в определении тензора
Сообщение06.06.2024, 20:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7061
lazarius
Кажется я начал вас понимать. В своём посту я нечаянно применил выражение "тензор преобразования координат". Вообще-то тот мой мой пост не про тензор и слово "тензор" оттуда можно убрать. Смысл там был в том, что совокупность чисел $b_j^i$ не обязательно мыслить как матрицу. Хотя можно и как матрицу. Можно это мыслить просто как дважды проиндексированный набор чисел. Допустим, у нас есть некоторое пространство и два базиса в нём - старый и новый. Допустим, координаты одного базиса выражаются через координаты другого линейно как- то так: $y^i=b^i_jx^j$ . При пристальном взгляде в эту формулу я вижу в ней несколько строк. В каждой из строк я вижу несколько умножений и сложений. Матрицы тут я не вижу. Хотя, если вглядываться под микроскопом, то матрицу в принципе можно себе и вообразить. Вопрос - зачем? А если эту совокупность чисел надо будет умножить на некий тензор высокого ранга? Так что, этот новый тензор представлять себе как некую многомерную матрицу? А смысл? Но, если вам так удобно, я не возражаю.

Рассмотрим наше линейное преобразование: $y^i=b^i_jx^j$ . Стоит два вопроса. Можно ли нашу совокупность чисел $b_j^i$ считать линейным оператором? И тензором типа $(1,1)$ ? Тут я высказал предположение, что можно. Для этого рассмотрим новое пространство $R^n$ . И в нём уже два вектора. Первый - с координатами $x_i$ . А второй - с координатами $y_i$ . Тогда наша совокупность чисел задаёт линейный оператор в этом новом пространстве. А значит и тензор типа $(1,1)$ .

Другое дело, что так поступать может и не рекомендуется, чтобы избежать замкнутого круга в определении тензора. Вообще-то я понимаю тензор не так как ТС. Я его мыслю как некую полилинейную функцию. Давайте поступим так. Я посмотрю учебники. А то я могу своей отсебятиной ввести вас в заблуждение. Завтра отпишусь. Пока ничего страшного в написанном не вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица перехода к новому базису в определении тензора
Сообщение06.06.2024, 21:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10894
Crna Gora
Enceladoglu
Сейчас определение тензора как набора величин, преобразующихся при замене базиса по определённому закону, считается устаревшим. Во-первых, непонятно, откуда берётся формула преобразования, почему она именно такова. Во-вторых, такое определение не отвечает современному пониманию тензора как единого объекта, к тому же не зависящего от выбора базиса. Оно создаёт прямо противоположное впечатление: набор компонент, искусственно объединённых вместе, да ещё и меняющих значения от базиса к базису. Вместо красивого кристалла, выглядящего по-разному в разных ракурсах — набор прыгающих блох. :-)

В более новых книгах даётся инвариантное определение тензора, не опирающееся на базисы. Например: тензор $\mathsf T$ типа $(^s_r)$ — это скалярная функция от $s$ ковекторов и $r$ векторов, линейная по каждому аргументу. (Предполагается, что понятия вектора и ковектора уже известны.) Для тензора $(^3_2)$ это выглядит так:
$c=\mathsf T(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma},\mathbf a, \mathbf b)$, или в индексной записи $c=T^{ijk}_{\ell m}\,\alpha_i\,\beta_j\,\gamma_k\,a^\ell\,b^m$
Греческими буквами обозначены ковекторы, маленькими латинскими — векторы. При этом сами векторы и ковекторы обозначены полужирным шрифтом, а их компоненты обычным. Число $c$ называется значением тензора $\mathsf T$ на ковекторах $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma}$ и векторах $\mathbf a, \mathbf b$. Порядок важен.

Такое определение позволяет естественно ввести основные тензорные операции, в том числе, тензорное произведение $\mathsf A\otimes\mathsf B$. С помощью тензорного произведения из базиса $(\mathbf e_i)$ в исходном векторном пространстве $V$ и базиса $(\boldsymbol{\omega}^{i})$ в сопряжённом пространстве $V^*$ ковекторов можно построить базис в пространстве тензоров типа $(^s_r)$:
$\mathbf e_{i_1}\otimes...\otimes\mathbf e_{i_s}\otimes\boldsymbol{\omega}^{k_1}\otimes...\otimes\boldsymbol{\omega}^{k_r}$
Будем считать, как обычно, что базис $(\boldsymbol{\omega}^{i})$ дуален к базису $(\mathbf e_i)$, т.е. удовлетворяет условию $\boldsymbol{\omega}^{k}(\mathbf e_i)=\delta^k_i$. (Слева значение базисного ковектора на базисном векторе; а ковектор, будучи тензором типа $(^0_1)$ — это скалярная линейная функция от векторного аргумента.)

Произвольный тензор $\mathsf T$ типа $(^s_r)$ раскладывается по этому базису:
$\mathsf T=T^{i_1...i_s}_{k_1...k_r}\;\mathbf e_{i_1}\otimes...\otimes\mathbf e_{i_s}\otimes\boldsymbol{\omega}^{k_1}\otimes...\otimes\boldsymbol{\omega}^{k_r}$
Коэффициенты разложения $T^{i_1...i_s}_{k_1...k_r}$ называются компонентами тензора $\mathsf T$ в данном базисе. А с другой стороны (и это может быть альтернативным определением), компоненты равны значению тензора как функции на базисных ковекторах и векторах:
$T^{i_1...i_s}_{k_1...k_r}=\mathsf T(\boldsymbol{\omega}^{i_1},...,\boldsymbol{\omega}^{i_s},\mathbf e_{k_1},...,\mathbf e_{k_r})$
Принципиально, что в другом базисе у тензора будут другие компоненты, но сам тензор $\mathsf T$ от выбора базиса не зависит.

Теперь у нас есть всё, чтобы вывести закон преобразования компонент при замене базиса самостоятельно. Пусть $(\mathbf e_i)$ и $(\mathbf e_{i'})$ — старый и новый векторные базисы, а $(\boldsymbol{\omega}^{i})$ и $(\boldsymbol{\omega}^{i'})$ — дуальные им старый и новый ковекторные базисы. Пусть $\mathbf e_{i'}=\mathbf e_{i}\,P^{i}{}_{i'}$ (т.е. $P^{i}{}_{i'}$ элементы матрицы перехода). Тогда из дуальности следует $\boldsymbol{\omega}^{i'}=P^{i'}{}_i\,\boldsymbol{\omega}^{i}$, где $P^{i'}{}_i$ — элементы обратной матрицы перехода, от нового к старому базису. Учитывая линейность тензора по каждому аргументу, имеем
$\begin{array}{l}T^{i'_1...i'_s}_{k'_1...k'_r}=\mathsf T({\boldsymbol{\omega}}^{i'_1},...,{\boldsymbol{\omega}}^{i'_s}, {\mathbf e}_{k'_1},...,{\mathbf e}_{k'_r})= \\[0.7ex]=\mathsf T(P^{i'_1}{}_{i_1}\boldsymbol{\omega}^{i_1},...,P^{i'_s}{}_{i_s}\boldsymbol{\omega}^{i_s},P^{k_1}{}_{k'_1}\mathbf e_{k_1},...,P^{k_r}{}_{k'_r}\mathbf e_{k_r})=\\=P^{i'_1}{}_{i_1}...P^{i'_s}{}_{i_s}\;P^{k_1}{}_{k'_1}...P^{k_r}{}_{k'_r}\mathsf T(\boldsymbol{\omega}^{i_1},...,\boldsymbol{\omega}^{i_s},\mathbf e_{k_1},...,\mathbf e_{k_r})=\\=P^{i'_1}{}_{i_1}...P^{i'_s}{}_{i_s}\;P^{k_1}{}_{k'_1}...P^{k_r}{}_{k'_r}\;T^{i_1...i_s}_{k_1...k_r}\end{array}$
Можно было поступить немного иначе и найти закон преобразования из условия
$\mathsf T=T^{i_1...i_s}_{k_1...k_r}\;\mathbf e_{i_1}\otimes...\otimes\mathbf e_{i_s}\otimes\boldsymbol{\omega}^{k_1}\otimes...\otimes\boldsymbol{\omega}^{k_r}=T^{i'_1...i'_s}_{k'_1...k'_r}\;\mathbf e_{i'_1}\otimes...\otimes\mathbf e_{i'_s}\otimes\boldsymbol{\omega}^{k'_1}\otimes...\otimes\boldsymbol{\omega}^{k'_r}$
Можно сказать, что при замене базиса меняются и коэффициенты, причём так, чтобы значение линейной комбинации не менялось.

Думаю, что Вам будет полезен и такой взгляд (какие-то детали пропущены, но если что-то непонятно — задавайте вопросы). Он встречается во многих книгах и считается более современным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица перехода к новому базису в определении тензора
Сообщение07.06.2024, 18:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7061
мат-ламер в сообщении #1641681 писал(а):
Давайте поступим так. Я посмотрю учебники. А то я могу своей отсебятиной ввести вас в заблуждение. Завтра отпишусь. Пока ничего страшного в написанном не вижу.

Посмотрел. Особо ничего не нашёл.
lazarius
Пока думаю вот что. Пусть мы хотим посмотреть, как изменятся координаты вектора, если мы поменяем базис. На эту задачу можно посмотреть с другой стороны. Пусть у нас есть два конечномерных линейных пространства с абсолютно одинаковыми элементами, но базисы у них разные. Теперь рассмотрим тождественный оператор из одного пространства в другое. Тождественный в том смысле, что он каждому элементу ставит в соответствие его самого (без связи с их координатами). Теперь будем смотреть, как преобразуются координаты вектора. И мы видим, что наша исходная задача эквивалентна новой - задаче о преобразовании координат вектора при линейном отображении. То есть мы получаем линейный оператор в $R^n$ . А это есть тензор типа $(1,1)$ . Это много где доказывается. Например, в лекциях Гельфанда по линейной алгебре. В связи с этим есть задача 1911 из сборника задач Проскурякова по линейной алгебре. Доказать, что элементы матрицы линейного преобразования в данном базисе образуют тензор. Расширим задачу. Будем рассматривать линейное преобразование из одного пространства в другое (у каждого свой базис). Будет ли это преобразование тензором? Ничего страшного не произойдёт, если у нас будет не один базис, а два. Если что надумаю ещё, отпишусь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица перехода к новому базису в определении тензора
Сообщение11.06.2024, 19:42 


04/09/23
80
lazarius
Спасибо, обязательно посмотрю

-- 11.06.2024, 19:43 --

svv
В общих чертах что-то понял, спасибо)

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица перехода к новому базису в определении тензора
Сообщение11.06.2024, 19:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7061
Enceladoglu
Примерно, как у svv , излагается в "Линейной алгебре" Кострикина.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group