Матрица перехода к новому базису в определении тензора

[Enceladoglu]

Если посмотреть Ильина Позняка "Линейная алгебра" то тензор там определяеться так
A^{k_1^{'},..,k_p^{'}} _{i_1^{'},..,i_p^{'}} =b^{i_1} _{i_1^{'}} ... b^{i_p} _{i_p^{'}} b^{k_1^{'}} _{k_1} ... b^{k_q^{'}} _{k_q} A^{k_1,..,k_p} _{i_1,..,i_p}
И я так понимаю, что имееться ввиду что b^{k}_{k^{'}} и b^{k^{'}}_{k}, это как бы обратные матрицы (одна прямой переход к друггому базису, другой обратный) (Об этом говорилось в предыдущем параграфе)
Честно говоря на википедии тоже такая запись, и я вообще не понимаю ее смысла. На чем мы основываемся когда пишем подобную запись, обозначая одинаковыми буквами матрицу и к ней обратную (вернее элементы матрицы). В чем ее преимущество ? Заранее спасибо.

[svv]

Каждый индекс в тензорной записи относится к некоторому базису (а его конкретное значение — к конкретному базисному вектору или ковектору). Базисов в конкретной задаче может использоваться много. Чтобы различать, к какому именно базису относится индекс, используются штрихи, чёрточки, тильды и т.п. (либо отсутствие таких символов). Элементы матрицы перехода нумеруются двумя индексами, относящимися к разным базисам. Например, по записи $b^i{}_{k'}$ видно, что это элемент матрицы перехода от базиса $(\mathbf e_i)$ к базису $(\mathbf e_{k'})$:
$\mathbf e_{k'}=\mathbf e_i\;b^i{}_{k'}$
Раз так, самой букве $b$ остаётся выразить лишь смысл «я — матрица перехода».

Когда договорились о букве, обозначающей матрицу перехода (в литературе в этой роли используются и другие буквы, например, $P$, $\Lambda$ ...), из формул сразу видно: ага, вот пересчёт к другому базису. Особенно, если буква броская (Ваша $b$ не очень). Ну, и не надо выдумывать новую букву для каждой новой пары базисов. Это позволяет легко и наглядно записывать основные свойства матрицы перехода:
$b^{i}{}_{k'}\;b^{k'}{}_{\ell''}=b^{i}{}_{\ell''}$
В частности,
$b^{i}{}_{k'}\;b^{k'}{}_{\ell}=b^{i}{}_{\ell}=\delta^i_\ell$

[мат-ламер]

Enceladoglu в сообщении #1639682 писал(а):

На чем мы основываемся когда пишем подобную запись, обозначая одинаковыми буквами матрицу и к ней обратную (вернее элементы матрицы)

svv в сообщении #1639686 писал(а):

Когда договорились о букве

svv в сообщении #1639686 писал(а):

из формул сразу видно

Возьмём формулу:

svv в сообщении #1639686 писал(а):

$b^{i}{}_{k'}\;b^{k'}{}_{\ell}= ...$

Допустим, мы её распишем почленно и один из членов нашей суммы будет $b^2_2b^2_2$ . Видно ли из формул, что первый и второй член в этом произведении, это разные вещи? А может быть одинаковые? Я думаю, что общий контекст позволяет ориентироваться в таких записях. Трудности возникают, когда мы захотим подсунуть некую формулу компьютеру, который контекст не видит.

[warlock66613]

мат-ламер в сообщении #1639711 писал(а):

и один из членов нашей суммы будет $b^2_2b^2_2$

Терять штрихи противопоказано. $b^2_{2'} b^{2'}_2$.

[мат-ламер]

warlock66613 в сообщении #1639721 писал(а):

Терять штрихи противопоказано. $b^2_{2'} b^{2'}_2$.

На мой взгляд более понятно бы выглядело $b_{'}_2^2$ и $b'^2_2$ . Но если студенты понимают, что такое $2'$ , то всё хорошо. Штрихи сразу после основной буквы используются в учебнике Беклемишева (п. IX.1.3). И, кстати, там для матриц перехода (символы $b$ из первого поста) используются разные буквы. И символы $A$ из первого поста у Беклемишева различаются с помощью штриха сразу после символа. На мой взгляд это выглядит доступней для понимания.

[Enceladoglu]

svv
Прошу прощения за долгое отсутствие))
Да, так стало понятней, спасибо.
У меня еще вопрос, а строка/столбец у b^{k}_{k^{'}} и b^{k^{'}}_{k} у обоих матриц это соответственно нижний/верхний индекс ?

[svv]

Тут несколько (совместно действующих) договорённостей.
$\bullet$ В индексной записи матрицы первый индекс обычно нумерует строки, второй индекс нумерует столбцы.
Но если один индекс верхний, а второй нижний и стоит прямо под верхним, как понять, какой из них первый, какой второй? Для этого я использую отступ:

svv в сообщении #1639686 писал(а):

$b^{i}{}_{k'}\;b^{k'}{}_{\ell''}=b^{i}{}_{\ell''}$
$b^{i}{}_{k'}\;b^{k'}{}_{\ell}=b^{i}{}_{\ell}=\delta^i_\ell$

И тогда понятно, что в матрице перехода
$\bullet$ Верхний индекс первый (следовательно, нумерует строки), а нижний второй (нумерует столбцы).
А в символе Кронекера это безразлично, поэтому там отступа нет.
Напомню также, что
$\bullet$ В матрице перехода $k$-й столбец содержит компоненты «нового» базисного вектора $\mathbf e_{k'}$ в «старом» базисе $(\mathbf e_i)$. Это следует из формулы $\mathbf e_{k'}=\mathbf e_i\;b^i{}_{k'}$ и предыдущих соглашений.

Использование отступа — мой стиль, и Вы не обязаны ему следовать. Остальное — более-менее стандартно.

[Enceladoglu]

svv
В целом, понял, спасибо. Но остался еще один нюанс
$e_{i^{'}} = b^{i}_{i^{'}} e_{i}$ - переход от старого к новому (ковар. базис)

$e^{i^{'}} = b^{i^{'}}_{i} e^{i}$ - переход от старого к новому (контрвар базис)
Но вроде как, переход от одного базиса к другому - это умножение на матрицу (строка на столбец)
Т.е. в первом случае у меня $b^{i}_{i^{'}}$ - строка снизу ибо итерируемся по столбцу, т.е. верхнему индексу
А во втором случае у меня $ b^{i^{'}}_{i} $ - строка сверху ибо итерируемся по столбцу, т.е. нижнему индексу
Или.. при преобразовании ковариантных координат матрица транспонируеться ?)) Или умножается не слева а справа

[dgwuqtj]

Enceladoglu в сообщении #1641443 писал(а):

Или.. при преобразовании ковариантных координат матрица транспонируеться ?)) Или умножается не слева а справа

На выбор. Если у вас все векторы и ковекторы представляются столбцами, то транспонируется. Если же ковекторы вы записываете как строки, то матрица пишется справа от ковектора. От задачи зависит, как именно будет удобнее.

[svv]

Я использую, когда возможно, такую запись.

$\begin{array}{l}\mathbf e_{k'}=\mathbf e_i\;b^i{}_{k'}\\\begin{bmatrix}\mathbf e_{1'}&\mathbf e_{2'}&\mathbf e_{3'}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathbf e_{1}&\mathbf e_{2}&\mathbf e_{3}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}b^{1}{}_{1'}&b^{1}{}_{2'}&b^{1}{}_{3'}\\b^{2}{}_{1'}&b^{2}{}_{2'}&b^{2}{}_{3'}\\b^{3}{}_{1'}&b^{3}{}_{2'}&b^{3}{}_{3'}\end{bmatrix}\\\mathbf e_{1'}=\mathbf e_{1}\;b^{1}{}_{1'}+\mathbf e_{2}\;b^{2}{}_{1'}+\mathbf e_{3}\;b^{3}{}_{1'}\end{array}$


$\begin{array}{l}\mathbf e^{k'}=b^{k'}{}_i\;\mathbf e^i\\\begin{bmatrix}\mathbf e^{1'}\\\mathbf e^{2'}\\\mathbf e^{3'}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b^{1'}{}_{1}&b^{1'}{}_{2}&b^{1'}{}_{3}\\b^{2'}{}_{1}&b^{2'}{}_{2}&b^{2'}{}_{3}\\b^{3'}{}_{1}&b^{3'}{}_{2}&b^{3'}{}_{3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathbf e^{1}\\\mathbf e^{2}\\\mathbf e^{3}\end{bmatrix}\\[4ex]\mathbf e^{1'}=b^{1'}{}_{1}\;\mathbf e^{1}+b^{1'}{}_{2}\;\mathbf e^{2}+b^{1'}{}_{3}\;\mathbf e^{3}\end{array}$

[Утундрий]

Кстати, иногда индексы пишут и слева от символа. Тогда при умножении обязательно добавляют точку. Например

$$\mathbf y_{,ik}=\Gamma^s{}_{ik} \cdot \mathbf y_{,s}+{}^{s'}b_{ik}\cdot {}_{s'}\mathbf e$$

[мат-ламер]

Enceladoglu в сообщении #1641443 писал(а):

Но вроде как, переход от одного базиса к другому - это умножение на матрицу (строка на столбец)

Конечно, многое зависит от ситуации. Про тензор перехода от базиса к базису не обязательно думать как про матрицу . То есть располагать координаты этого тензора в некотором порядке на плоскости.

[Enceladoglu]

svv
Спасибо, теперь стало все понятно.
Немного оффтоп, а есть какой-то учебник с выводами формул тензорного анализа. Ну там, дивергенция, ротор, фор-ла Гаусса,Стокса и т.д. Причем формулу Стокса и ротор я чего-то вообще нигде не могу найти для тензорных полей

[svv]

Я до сих пор думал, что существует множество учебников по тензорному анализу, и в подавляющем их большинстве подобные формулы не просто приводятся, но и выводятся.

(Оффтоп)

Посоветовать учебник по тензорному анализу очень трудно:
0) Учебников очень много.
1) Они разного уровня сложности. Где-то тензорный анализ излагается в произвольных криволинейных координатах. Где-то в криволинейных, но только ортогональных. Где-то — лишь в декартовых. Размерность пространства — произвольная, или 3 (или 4)? Изучаются ли римановы многообразия с кривизной, или теория излагается лишь для плоского евклидова (или псевдоевклидова) пространства? А тензорные поля на гладких многообразиях?
2) Они разной направленности. Теоретические и прикладные. Для математиков. Для изучающих дифференциальную геометрию. Для физиков, работающих в теории относительности. Для инженеров, работающих в теории упругости. И т.д. Есть книги, в которых тензорный анализ излагается попутно, как средство для решения задач по основной тематике книги.
3) На русском и на английском.
4) Новые и устаревшие. Некоторые книги, написанные 50+ лет назад, всё ещё популярны (Рашевский), а мне кажутся сильно устаревшими.
5) Бывает, что люди хвалят понравившийся им учебник, а мне он не нравится (что не означает, что он плохой). Сам я изучал предмет давно, и не по какому-то одному учебнику. Разные темы разбирал по разным книгам. Некоторые из этих книг в настоящее время выглядели бы очень странно в качестве учебного пособия.

[Enceladoglu]

svv

(Оффтоп)

0) Ну у Кочина "векторный и тензорный анализ" формулу Стокса я не нашел, а Борисенко, Тарапов говорят "Операция соответствующая образованию вихря векторного поля, к тензорным полям второго ранга не примена вообще", и на этом все
1) Лучше декартовых, но если уж криволинейные то ладно. Размерность не имеет значения, пространство плоское (хоть евклидово хоть псевдоевклидово). Не знаю кто такие эти многообразия)) Но если без них не обойтись, то ладно.
2) Скорее всего не для математиков, а для инженера/физика
3) Я надеюсь все таки что-то на русском найти)
4) Возраст - это просто цифра))