Аналитическая ФКП - функция одного или двух переменных?

[pavlikkk]

Извиняюсь за возможно глупые вопросы, только начинаю изучать ТФКП.

Сначала мне казалось, что функция комплексного переменного - это то же самое,с что 2 функции 2х действительных переменных (векторное поле в $\mathbb{R}^2$). Однако начинает казаться, что такое восприятие аналитической функции неправильно. С учетом некоторых ограничений, например, с помощью преобразования Лапласа аналитическая ФКП может быть однозначно сопоставлена функции действительного переменного. Получается, что вся информация, содержащаяся в аналитической ФКП, содержится в функции дейстивительного переменного (оригинале). Значит ли это, что ФКП - это не функция 2х действительных переменных, а некоторое другое (для некоторых целей как я понимаю более удобное) представление функции действительного переменного? Как правильно воспринимать аналитическую ФКП?

И второй вопрос, с которым тоже хотелось бы разобраться, менее общего характера. Условия Коши-Римана иногда записывают в виде $\frac{\partial F}{\partial \bar{z}} = 0$. Есть ли у этого какой-то геометрический смысл, что-то не могу понять, как к этому надо относиться - то ли это просто формальная запись, то ли за этим что-то скрывается - тогда как выглядит производная по "комплексно-сопряженному" (относительно чего?) направлению?

[Утундрий]

Первое связано с тем, что при некоторых условиях функция аналитически продолжается с границы в область. Ко второму всегда относился как к формальности.

[Slav-27]

pavlikkk в сообщении #1640918 писал(а):

что вся информация, содержащаяся в аналитической ФКП, содержится в функции дейстивительного переменного (оригинале). Значит ли это, что ФКП - это не функция 2х действительных переменных, а некоторое другое (для некоторых целей как я понимаю более удобное) представление функции действительного переменного?

Правильно и так и так. А ещё функция, аналитическая на всей комплексной плоскости, однозначно определяется своим рядом Тейлора в нуле, то есть про такую функцию можно ещё думать, что она последовательность комплексных чисел.

pavlikkk в сообщении #1640918 писал(а):

Условия Коши-Римана иногда записывают в виде $\frac{\partial F}{\partial \bar{z}} = 0$. Есть ли у этого какой-то геометрический смысл, что-то не могу понять, как к этому надо относиться - то ли это просто формальная запись, то ли за этим что-то скрывается - тогда как выглядит производная по "комплексно-сопряженному" (относительно чего?) направлению?

Ничего особо не скрывается, просто можно рассматривать комплексифицированные дифференциалы и векторные поля, тогда имеют смысл $dz$ и $d\bar z$ -- дифференциалы гладких функций $z$ и $\bar z:\mathbb C\to\mathbb C$, и дальше можно определить $\dfrac{\partial}{\partial z}$ и $\dfrac{\partial}{\partial\bar z}$ как двойственные векторные поля.

[Red_Herring]

ТФКП это отдельный раздел математики, который не сводится к теории функций одного или нескольких действительных переменных и подобный вопрос малоосмысленен. А есть еще (весьма малоизвестная) Теория Функций Нескольких Комплексных Переменных, которая принципиально отлична и от "обычной" ТФКП, и от ТФДП.

[pavlikkk]

Slav-27 в сообщении #1640933 писал(а):

Ничего особо не скрывается, просто можно рассматривать комплексифицированные дифференциалы и векторные поля, тогда имеют смысл $dz$ и $d\bar z$ -- дифференциалы гладких функций $z$ и $\bar z:\mathbb C\to\mathbb C$, и дальше можно определить $\dfrac{\partial}{\partial z}$ и $\dfrac{\partial}{\partial\bar z}$ как двойственные векторные поля.

То есть другими словами мы можем рассматривать комплексный дифференциал произвольной ФКП (1-форму, которой скармливаем произвольные комплексные du и dv) $\ dF = Adu + Bdv$. В частности, мы можем воткнуть туда и $\ du = dz, dv = d\bar{z}$, а потом $\ du = d\bar{z}, dv = dz$. Так как условия Коши-Римана говорят о том, что B = 0, то и $\ dz $ и $\ d\bar{z}$ умножаться только на А, то есть повернутся на одинаковый угол. Отсюда видимо следует, что отображение аналитической функцией сохраняет углы. Как-то пока не кристально ясно, надо еще подумать, спасибо! :)

Red_Herring в сообщении #1640935 писал(а):

ТФКП это отдельный раздел математики, который не сводится к теории функций одного или нескольких действительных переменных и подобный вопрос малоосмысленен. А есть еще (весьма малоизвестная) Теория Функций Нескольких Комплексных Переменных, которая принципиально отлична и от "обычной" ТФКП, и от ТФДП.

Все-таки не совсем уверен, что этот вопрос не имеет смысла. Например, мы можем из 1D функции сделать 2D функцию кучей способов, тем же вейвлет-преобразованием. А потом построить Теорию Вейвлет-Преобразованных Функций. Изучать, какими свойствами обладают эти 2D функции и выводить про них соотношения. Это не отменяет того, что объект, который породил все это дело, был одномерным, просто мы изобрели новый способ анализа таких одномерных объектов и теперь получаем информацию из них, которой раньше не замечали, но которая тем не менее в нем была. Хотя, конечно, практического смысла наверное этот вопрос имеет мало, тут вы правы.

[mihaild]

Мне нравится об этом думать следующим образом: есть стандартное вложение комплексных чисел в матрицы $2 \times 2$. Производная функции $\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ - это тоже матрица $2 \times 2$. Условия Коши-Римана говорят, что эта матрица должна быть не произвольной, а тоже комплексным числом.

[amon]

pavlikkk в сообщении #1640918 писал(а):

Условия Коши-Римана иногда записывают в виде $\frac{\partial F}{\partial \bar{z}} = 0$. Есть ли у этого какой-то геометрический смысл, что-то не могу понять, как к этому надо относиться - то ли это просто формальная запись, то ли за этим что-то скрывается

На языке рабочих и крестьян. Рассмотрим пару функций двух действительных переменных

$$\begin{align} u&=x^2-y^2\\ v&=2xy. \end{align}$$

Составим из них комплекснозначную функцию $F=u+iv.$ Введем новые комплексные переменные

$$\begin{align} z&=x+iy\\ z^*&=x-iy\\ x&=\frac{z+z^*}{2}\\ y&=\frac{z-z^*}{2i}. \end{align}$$

Ясно, что $z$ и $z^*$ - независимые переменные, не хуже чем исходные. Подставим это хозяйство в $F=u+iv.$ К удивлению, обнаружим, что все $z^*$ сократятся, и окажется, что $F=z^2,$ и не зависит от $z^*.$ Это (с некоторыми приговорками) означает, что наша $F$ - аналитическая функция.

[Red_Herring]

amon в сообщении #1640946 писал(а):

Ясно, что $z$и $z^*$ - независимые переменные

Ну если $x$ и $y$ действительные переменные, то комплексные переменные $z$ и $z^*$ вполне зависимые: одна из них определяет другую. Но $dz$ и $dz^*$ линейно независимы (хотя и просто зависимы): $Adz +Bdz^*=0 \ \forall dz \implies A=B=0$.

-- 01.06.2024, 08:26 --

pavlikkk в сообщении #1640943 писал(а):

Например, мы можем из 1D функции сделать 2D функцию кучей способов,

НУ и что? Можно и 3D функцию сделать... К черту вейвлет преобразования и все прочее! Это приложения ТФКП, важные, бесспорно, но приложения. Изучая отрасль математики нужно, конечно, видеть ее связи с другими областями, но не менее важно понимать, что вы внутри этой области, тем более такой старой и богатой, как ТФКП.

[amon]

Red_Herring в сообщении #1640947 писал(а):

Ну если $x$ и $y$ действительные переменные, то комплексные переменные $z$ и $z^*$ вполне зависимые: одна из них определяет другую.

Мне кажется, что для этого надо ввести еще и операцию комплексного сопряжения, а если ее нет, то и не определяет. А эта операция не совсем тривиальная и аналога у нее в действительных числах с операцией умножения на мнимую единицу нет.

[pavlikkk]

mihaild в сообщении #1640945 писал(а):

Мне нравится об этом думать следующим образом: есть стандартное вложение комплексных чисел в матрицы $2 \times 2$. Производная функции $\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ - это тоже матрица $2 \times 2$. Условия Коши-Римана говорят, что эта матрица должна быть не произвольной, а тоже комплексным числом.

Что такое производная функции $\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ я не совсем понимаю. Возможно, вы имели в виду что дифференциал функции $\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ это линейная функция двух векторов, содержащая 2 матрицы. И условия Коши-Римана нам говорят о том, что можно выбрать такую систему координат, что одна из этих матриц будет равна нулю, а вторая будет комплексным числом. Так видимо?

[Red_Herring]

amon в сообщении #1640948 писал(а):

что для этого надо ввести еще и операцию комплексного сопряжения, а если ее нет, то и не определяет

Но она же есть. Вот если бы $x, y$ бы ли бы комплексными переменными, то да $z, z^*$ бы ли бы независимы.

[mihaild]

pavlikkk в сообщении #1640950 писал(а):

Что такое производная функции $\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ я не совсем понимаю

Это такая линейная функция $g$, что $\|f(x) - f(x_0) - g(x)\| = o(\|x - x_0\|)$ (такое определение, например, у Рудина). И линейные функции естественно отождествить с матрицами.

pavlikkk в сообщении #1640950 писал(а):

дифференциал функции $\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ это линейная функция двух векторов

Почему двух? Дифференциал определен там же, где и сама функция.

[pavlikkk]

mihaild в сообщении #1640953 писал(а):

pavlikkk в сообщении #1640950 писал(а):

Что такое производная функции $\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ я не совсем понимаю

Это такая линейная функция $g$, что $\|f(x) - f(x_0) - g(x)\| = o(\|x - x_0\|)$ (такое определение, например, у Рудина). И линейные функции естественно отождествить с матрицами.

pavlikkk в сообщении #1640950 писал(а):

дифференциал функции $\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ это линейная функция двух векторов

Почему двух? Дифференциал определен там же, где и сама функция.

Да, туплю :( Так чему тогда в такой матричной трактовке соответствует $\frac{\partial}{\partial\bar{z}}$ ? Разбить матрицу производной на антисимметричную (комплексное число) плюс какой-то довесок и вот этот довесок в случае аналитической функции равен 0? А почему этот довесок имеет вид именно $\frac{\partial}{\partial\bar{z}}$?

[dgwuqtj]

Дифференциалы $dz = dx + i\, dy$ и $d \bar z = dx - i\, dy$ — это обычные дифференциалы отображений $\mathbb C \to \mathbb C$, как линейные отображения это буквально тождественное и сопряжение. А частные производные определяются так, чтобы $df = \frac{\partial f}{\partial z}\, dz + \frac{\partial f}{\partial \bar z}\, d\bar z$ для любой непрерывно дифференцируемой функции $f \colon \mathbb C \to \mathbb C$, несмотря на то, что формально сделать замену переменных нельзя. Тут слева дифференциал, он каждой точке сопоставляет вещественно линейное отображение $\mathbb C \to \mathbb C$. Справа дифференциалы в каждой точке $z_0$ домножаются на комплексные числа $\frac{\partial f}{\partial z}(z_0)$ и $\frac{\partial f}{\partial \bar z}(z_0)$. Можно проверить, что $\frac \partial{\partial z} = \frac 1 2 (\frac \partial{\partial x} - i\, \frac{\partial}{\partial y})$ и $\frac \partial{\partial \bar z} = \frac 1 2 (\frac \partial{\partial x} + i\, \frac{\partial}{\partial y})$ однозначно определены. В матричной трактовке дифференциал в точке — это произвольная матрица, а частные производные по $z$ и $\overline z$ — матрицы, представляющие комплексные числа.

[vpb]

pavlikkk в сообщении #1640918 писал(а):

Извиняюсь за возможно глупые вопросы, только начинаю изучать ТФКП.

А валяйте ! Я в молодости тоже ТФКП не доучил, сейчас понемногу доучиваю, в основном по двухтомнику Маркушевича и задачнику Волковыского с соавторами.

pavlikkk в сообщении #1640918 писал(а):

Сначала мне казалось, что функция комплексного переменного - это то же самое,с что 2 функции 2х действительных переменных (векторное поле в $\mathbb{R}^2$).

В принципе, да. Если брать все пары действительных функций, определенных всюду на ${\mathbb R}^2$ (причем вообще все, в самом общем смысле, т.е. произвольное сопоставление паре $(x,y)$ другой пары $(u,v)$, а не только определенное какими-то формулами и т.д.), и все комплексные функции ${\mathbb C}\longrightarrow {\mathbb C}$, то да, эти два множества функций находятся во взаимно однозначном соответствии.

pavlikkk в сообщении #1640918 писал(а):

Однако начинает казаться, что такое восприятие аналитической функции неправильно.

Разумеется неправильно, потому что аналитическая функция даже и действительного переменного, не говоря про комплексные --- это совсем не то, что произвольная.

pavlikkk в сообщении #1640918 писал(а):

Как правильно воспринимать аналитическую ФКП?

Для начала полезно на нее смотреть так (но это, сразу предупреждаю, не полностью правильный взгляд): это расширение, в комплексную область, "хорошей" функции действительного переменного. (Здесь "хороший" значит то, что можно задать одной формулой, или хотя бы хорошо сходящимся рядом). А также то, что можно построить из таких функций арифметическими операциями, включая опять же суммы рядов, например.

Я считаю, для хорошего восприятия бывает полезно проходить путь развития мысли приблизительно так, как его проходила наука в своем развитии. С этой точки зрения, сообщаю следующее.
В начале эпох, в век Бернулли, Эйлера, Даламбера и Лагранжа, задавались таким вопросом. Есть обычная функция от действительного числа, скажем многочлен, или рациональная функция, или что-то с корнями, или общая степенная, или синус, или логарифм и т.д. Как можно было бы распространить ее определение на комплексные числа, притом так, чтобы функция сохранила свои естественные свойства, скажем для показательной свойство $a^x a^y=a^{x+y}$, и т.д. ? Как это у них получалось, короче, "элементарная" теория функций комплексного переменного, изложено в первых двух главах первого тома Маркушевича.

(Тьфу, извиняюсь, ссылка на реп неправильная получилась. Сейчас получше найду. Нашел, заменил. )