Аналитическая ФКП - функция одного или двух переменных?

[Утундрий]

Red_Herring в сообщении #1640935 писал(а):

есть еще (весьма малоизвестная) Теория Функций Нескольких Комплексных Переменных

Что-то слышал, но ни разу не видел. В чём там сложность?

[Red_Herring]

Утундрий в сообщении #1640965 писал(а):

В чём там сложность?

Там сложностей много. Она другая. Приведу несколько примеров.
1. В обычной ТФКП для каждой открытой области существует функция, которая в этой области аналитична, но не продолжается никуда. В ТФНКП это неверно. Таких областей сравнительно мало.
2. В обычной ТФКП области имеют размеренность 2, а их границы, они же контуры--1. В ТФНКП области имеют размеренность $2n$, их границы $2n-1$, а контуры--$n$. Т.е. границы области--не контуры (интегрирования).

В большинстве самых лучших мат департаментов нет ни одного человека, способного его читать (аспирантам) без того, чтобы выучить--потому и не читается. Многие ключевые результаты получены в середине прошлого века.

[mihaild]

Red_Herring, у меня в голове смутно крутится, что в общем случае аналитичность (раскладываемость в ряд Тейлора) и голоморфность (существование комплексной производной) не всегда совпадают. Это как-то соответствует действительности?

[Red_Herring]

mihaild в сообщении #1640985 писал(а):

не всегда совпадают

Для ТФКП совпадают. Для ТФНКП там нужно существование всех первых частных производных, т.е. $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}_j}=0\qquad \forall j=1,\ldots, n$

Я лично с ТФНКП знаком по книге Хермандера https://www.cataloxy.ru/books/18713313_vvedenie-v-teoriyu-funktsiy-neskolkih-kompleksnyh-peremennyh.htm, которую я читал 50+ лет назад и почти все забыл. Ему хотелось выучить эту теорию, для чего он написал книгу, в которой он получил новые фундаментальные результаты. Несколько лет назад мой младший сын читал курс аспирантам по этой теории.

[мат-ламер]

mihaild в сообщении #1640985 писал(а):

у меня в голове смутно крутится, что в общем случае аналитичность (раскладываемость в ряд Тейлора) и голоморфность (существование комплексной производной)

Голоморфность не тождественна существованию производной. Она должна существовать в некоторой открытой области. Как пример, у функции $f(z)=z\overline{z}=|z|^2$ существует нулевая комплексная производная в нуле. Но эта функция там не голоморфна.

-- Вс июн 02, 2024 06:40:54 --

pavlikkk в сообщении #1640918 писал(а):

Сначала мне казалось, что функция комплексного переменного - это то же самое,с что 2 функции 2х действительных переменных

Так оно и есть.

-- Вс июн 02, 2024 06:42:36 --

pavlikkk в сообщении #1640918 писал(а):

Однако начинает казаться, что такое восприятие аналитической функции неправильно.

Однако не каждая функция комплексной переменной является аналитической функцией.

-- Вс июн 02, 2024 06:45:49 --

pavlikkk в сообщении #1640918 писал(а):

Как правильно воспринимать аналитическую ФКП?

В некоторых книгах разделяют понятия голоморфной и аналитической функции. Голоморфную можно понимать как дифференцируемую в комплексном смысле в некоей открытой области. Аналитическая функция может быть и "многозначна".

-- Вс июн 02, 2024 07:03:49 --

pavlikkk в сообщении #1640918 писал(а):

только начинаю изучать ТФКП.

pavlikkk в сообщении #1640918 писал(а):

Условия Коши-Римана иногда записывают в виде $\frac{\partial F}{\partial \bar{z}} = 0$. Есть ли у этого какой-то геометрический смысл, что-то не могу понять, как к этому надо относиться - то ли это просто формальная запись, то ли за этим что-то скрывается - тогда как выглядит производная по "комплексно-сопряженному" (относительно чего?) направлению?

На начальном этапе можно понимать просто как формальную запись. В простых книгах она не так часто где и используется.

pavlikkk в сообщении #1640918 писал(а):

тогда как выглядит производная по "комплексно-сопряженному" (относительно чего?) направлению?

Функция комплексного переменного, это прежде всего функция от $z$ . Хотя в её записи может встречаться и символ $\overline{z}$ . Как пример, рассмотрим функцию $f(z)=|z|^2=z\overline{z}$ . Эту запись можно чисто формально (как совокупность символов, а не как функцию) продифференцировать по символу $\overline{z}$, не определяя формально, что это такое. В результате получим ровно такой же результат, какой бы мы получили, вычисляя $\partial f /\partial {\overline{z} }$ по исходному определению (через частные производные).

-- Вс июн 02, 2024 07:07:47 --

pavlikkk в сообщении #1640950 писал(а):

Что такое производная функции $\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ я не совсем понимаю.

По теме не плохо бы ещё понимать, что такое производная функции $\mathbb C \to \mathbb C$ (то есть производная в комплексном смысле).

[мат-ламер]

pavlikkk в сообщении #1640918 писал(а):

Сначала мне казалось, что функция комплексного переменного - это то же самое,с что 2 функции 2х действительных переменных

мат-ламер в сообщении #1641005 писал(а):

Так оно и есть.

Всё же есть нюанс. Иногда функцию комплексной переменной полезно рассматривать как заданную на расширенной комплексной плоскости (и принимающую там же значения).

[amon]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1640965 писал(а):

Что-то слышал, но ни разу не видел.

Интерес к теории функций многих комплексных переменных в физике возник в конце 50-х, начале 60-х годов прошлого века в связи с тем, что, с одной стороны, Л.Д. Ландау решил, что он нашел внутреннее противоречие в стандартной квантовой теории поля (КТП) ("Московский ноль"), а с другой стороны, появилась идея, что классификацию элементарных частиц можно построить без КТП, основываясь на гипотезе о том, что $S$-матрица полностью определяется тем, что она релятивистски инвариантна, унитарна и является аналитической функцией некоторых релятивистских инвариантов, причем ее особенностями могут быть только простые полюса и разрезы, определяемые порогами соответствующих реакций элементарных частиц. Последнее условие накладывает жесткие ограничения на возможный вид такой функции, и народ надеялся восстановить ее вид только из этих условий, зная положение отдельных особенностей из эксперимента и не решая уравнений КТП. В последствии была придумана стандартная модель, закрыта (частично) проблема "московского нуля" и эта деятельность забылась. Написано это, например, в книжке Дж. Чью. "Аналитическая теория S-матрицы". Представляет ли это сейчас какой-либо интерес, кроме исторического, я не знаю.

[svv]

(Оффтоп)

amon
Ещё в студенческие годы листал «Физический энциклопедический словарь», и в статье «Квантовая теория поля» привлекло внимание такое место (извините за качество скана):



Это о том же?

[amon]

svv в сообщении #1641036 писал(а):

Это о том же?

Да.

[svv]

Спасибо.

(Оффтоп)

С того момента у меня появилась отговорка:
— Почему ты так и не выучил КЭД?
— Ну а зачем я буду учить несамосогласованную теорию?

[Vince Diesel]

(Оффтоп)

svv в сообщении #1641036 писал(а):

amon
Ещё в студенческие годы листал «Физический энциклопедический словарь», и в статье «Квантовая теория поля» привлекло внимание такое место

Так $10^{280}$ эВ это же на много порядков больше энергии великого объединения $10^{25}$ эВ. Я как-то думал, что энергия частицы не может быть больше, чем соответсвующая планковскому масштабу.

[drzewo]

Red_Herring в сообщении #1640935 писал(а):

А есть еще (весьма малоизвестная) Теория Функций Нескольких Комплексных Переменных,

Шабат Введение в комплексный анализ том 2 (Москва 1976)
Зорич этой темой занимался, Белошапка.