Спасибо за замечания. Я подумаю, как устранить этот пробел в доказательстве. Однако, попробуем рассуждать иначе. Покажем, что из того, что

не содержит невыродженный континуум вытекает, что отображение

-- лёгкое. Предположим противное, тогда

содержит в себе невыродженную комоненту связности

Тогда согласно пункту D главы II параграфа 4, с. 22 в [Hurewicz~W., Wallman~H. Dimension theory. Princeton Univ. Press,
Princeton (1948)] и последующему замечанию здесь же существует точка

такая, что

имеет топологическую размерность, большую нуля в этой точке

Другими словами, сколь угодно малые окрестности с центром в этой точке имеют непустую границу относительно

Возьмём теперь замкнутый шар радиуса

с центром в точке

Если бы любая компонента связности

вырождалась в точку, то множество

всюду разрывно, а потому и нульмерно в каждой точке множества

(см. пункт D главы II параграфа 4, с. 22 в [Hurewicz~W., Wallman~H. Dimension theory. Princeton Univ. Press,
Princeton (1948)] и последующее замечание здесь же ). Однако это противоречит тому, что сказано выше, а именно, тому что

имеет топологическую размерность, большую нуля в этой точке

Значит, существует невыродженный континуум

А это противоречит изначальному условию на
