О дискретности отображения

[Evgenii2012]

Отображение $f:D\rightarrow {\Bbb R}^n$ называется открытым, если множество $f(A)$ открыто в ${\Bbb R}^n$ для всякого открытого $A\subset D.$ Отображение $f:D\rightarrow {\Bbb R}^n$ называется нульмерным, если множество $f^{\,-1}(y)$ не содержит в себе невыродженный континуум, каковым бы ни был элемент $y\in {\Bbb R}^n.$ Отображение $f:D\rightarrow {\Bbb R}^n$ называется дискретным, если множество $f^{\,-1}(y)$ состоит только из изолированных точек (то есть, есть не более чем счётное множество, не имеющее предельных точек внутри $D$). Вопрос: будет ли произвольное открытое нульмерное отображение дискретным? Сохранение ориентации отображения $f$ не предполагается!

[dgwuqtj]

Можно взять в качестве $f$ проекцию $\mathbb R^n \times X \to \mathbb R^n$, где $X$ счётное с предельными точками (скажем, одноточечная компактификация $\mathbb N$).

[Evgenii2012]

Спасибо за ответ. Однако, это не будет отображение области $D\subset {\Bbb R}^n$ в ${\Bbb R}^n,$ так как размерности образа и прообраза разные. По этой же причине, отображение $f$ не является открытым (иначе говоря, не удовлетворяет условиям). Отображения разных размерностей не рассматриваются. (Уточнение: в своём вопросе меня интересуют исключительно одинаковые размерности, т.е., $D\subset {\Bbb R}^n$ и $f:D\rightarrow {\Bbb R}^n$)

[dgwuqtj]

Открытым оно точно будет, как и любая проекция из произведения. Просто в примере $D$ будет замкнутым подмножеством в $\mathbb R^{n + 1}$, скажем, а не областью. Вы вообще имеете в виду непрерывные отображения или произвольные?

[Evgenii2012]

Возможно, Вы имеете в виду открытость в соответствующей топологии. Я же открытость понимаю в смысле ${\Bbb R}^n$ как в образе, так и в прообразе. Если в прообразе точка входит в область вместе со своим $n$-мерным шаром, то в образе этой области при указанном отображении соответствующего шара той же размерности нет. Согласны? Отображения все предполагаем непрерывными. Открытость понимаем в смысле одинаковой топологии образа и прообраза. Интересуют отображения области $D$

[dgwuqtj]

Я погуглил и вот что получилось. Во-первых, обычно рассматриваются "light mappings" (будем переводить как "лёгкие"), то есть такие, у которых прообразы точек вполне несвязные. Это как будто немного сильнее отсутствия континуумов, если многообразия не компактные (а области не компактные). Во-вторых, при $n = 1$ любое открытое отображение является локально строго монотонным и поэтому этальным (локальным гомеоморфизмом), так что там всё хорошо. Далее, при $n = 2$ лёгкие открытые отображения являются дискретными, это теорема 1928 года на французском, доказательство как будто написано здесь. Наконец, в статье D. Wilson, Open mappings on manifolds and a counterexample to the Whyburn conjecture строятся контрпримеры при $n \geq 3$, правда, для отображений между компактными многообразиями (возможно, с краями), так что контрпример для областей ещё надо оттуда пытаться извлечь.

[Evgenii2012]

Большое спасибо за информацию! Про теорему 1928 года я не знал. Лёгкие - это и есть нульмерные отображения. "Вполне не связен" и значит отсутствие соответствующего континуума. Надо как-то закрыть вопрос для больших размерностей

[dgwuqtj]

Evgenii2012 в сообщении #1640534 писал(а):

"Вполне не связен" и значит отсутствие соответствующего континуума.

А почему это? Есть, скажем, такая штука. Она, правда, не локально замкнутая в плоскости (как прообразы точек), и мне не очевидно, если в ней континуумы.

[Evgenii2012]

Большое спасибо за пример, я некоторое время размышлял над ним. Кажется, в своё время даже видел его в книге Куратовского "Топология". Тем не менее, вернёмся к теории отображений. Я утверждаю, что оба эти определения эквивалентны: из того, что прообраз точки нульмерен в указанном мною смысле вытекает, что отображение является лёгким, и наоборот.

Действительно, пусть $f$ нульмерно, т.е., $f^{\,-1}(y)$ не содержит невырожденный континуум. Покажем, что оно лёгкое. Предположим противное, тогда $f^{\,-1}(y)$ не является всюду разрывным множеством для некоторого $y\in {\Bbb R}^n.$ Тогда существует компонента связности $K\subset f^{\,-1}(y),$ где $K$ не вырождается в точку. Тогда найдётся $\delta>0$ и $x, y\in K$ такие, что $|x-y|=\delta.$ Можно считать число $\delta$ настолько малым, что $\overline{B(x, \delta)}\subset D.$ Пусть $K_1$ -- компонента связности множества $K\cap \overline{B(x, \delta/2)},$ содержащая точку $x.$ Отметим, что $K_1\cap S(x, \delta/2)\ne\varnothing,$ где $S(x, \delta/2)=\{y\in {\Bbb R}^n: |x-y|=\delta/2\}$ (последнее вытекает из определения связности $K$). Окончательно, $K_1$ -- невыродженный континуум в $f^{\,-1}(y),$ что противоречит нульмерности отображения $f.$ (То, что $K_1$ замкнуто -- очевидно. Замкнутое подмножество компакта, как известно, компакт).

Обратно, пусть $f$ -- лёгкое. Тогда любая компонента $f^{\,-1}(y)$ является точкой. Тем более, $f$ не может переводить континуум в точку. То есть, $f^{\,-1}(y)$ не может содержать невыродженный континуум.

[dgwuqtj]

Evgenii2012 в сообщении #1640566 писал(а):

Отметим, что $K_1\cap S(x, \delta/2)\ne\varnothing,$ где $S(x, \delta/2)=\{y\in {\Bbb R}^n: |x-y|=\delta/2\}$ (последнее вытекает из определения связности $K$).

Этот момент мне что-то непонятен. Речь же не про линейную связность.

[Evgenii2012]

Покажем, что $K_1\cap S(x, \delta/2)\ne\varnothing.$ В силу того, что $|x-y|=\delta,$ $x, y\in K,$ мы имеем, что

$$K\setminus\overline{B(x, \delta/2)}\ne \varnothing.$$

Тогда по связности $K$ и в силу того, что $K\setminus \overline{B(x, \delta/2)}\ne\varnothing$, имеем:
%

$$K_1\cap {\overline{K\setminus K_1}}\ne \varnothing$$

(см., напр., пункт~1, $\S\,46,$ гл.~5 в [Куратовский, Топология, т. 2, Москва, Мир, 1969]). Заметим, что

$$K\setminus K_1=(K\setminus \overline{B(x, \delta/2)})\cup\bigcup\limits_{\alpha\in A} K_{\alpha}\,,\eqno(1)$$

где $A$ -- некоторое множество индексов $\alpha,$ и
$\bigcup\limits_{\alpha\in A} K_{\alpha}$ обозначает объединение всех компонент множества $K\cap \overline{B(x, \delta/2)},$ за исключением $K_1.$ В силу теоремы 1.III, $\S\,46,$ гл.~5 указанной книги Куратовского, $K_{\alpha}$ и $K_1$--- замкнутые непересекающиеся подмножества в
$\overline{B(x, \delta/2)},$ $\alpha\in A.$
Тогда по (1), соотношение

$$K_1\cap {\overline{K\setminus K_1}}\ne \varnothing$$

возможно лишь тогда и только тогда, когда

$$K_1\cap \overline{(K\setminus \overline{B(x, \delta/2)})}\ne\varnothing.$$

Тогда найдётся $z_1\in K_1\cap S(x, \delta/2).$

[dgwuqtj]

Только есть одна проблема: замыкание объединения множеств не равно объединению замыканий. У вас ведь $A$ может быть хоть континуальным.

[Evgenii2012]

А где я брал объединение замыканий? Или замыкание объединения?

[dgwuqtj]

Evgenii2012 в сообщении #1640570 писал(а):

Тогда по (1), соотношение

$$K_1\cap {\overline{K\setminus K_1}}\ne \varnothing$$

возможно лишь тогда и только тогда, когда

Так вот тут и брали.

[Evgenii2012]

Спасибо за замечания. Я подумаю, как устранить этот пробел в доказательстве. Однако, попробуем рассуждать иначе. Покажем, что из того, что $f^{-1}(y)$ не содержит невыродженный континуум вытекает, что отображение $f$ -- лёгкое. Предположим противное, тогда $f^{\,-1}(y)$ содержит в себе невыродженную комоненту связности $K.$ Тогда согласно пункту D главы II параграфа 4, с. 22 в [Hurewicz~W., Wallman~H. Dimension theory. Princeton Univ. Press,
Princeton (1948)] и последующему замечанию здесь же существует точка $x\in K$ такая, что $K$ имеет топологическую размерность, большую нуля в этой точке $x.$ Другими словами, сколь угодно малые окрестности с центром в этой точке имеют непустую границу относительно $K.$ Возьмём теперь замкнутый шар радиуса $\delta$ с центром в точке $x.$ Если бы любая компонента связности $\overline{B(x, \delta)}\cap K$ вырождалась в точку, то множество $\overline{B(x, \delta)}\cap K$ всюду разрывно, а потому и нульмерно в каждой точке множества $\overline{B(x, \delta)}\cap K$ (см. пункт D главы II параграфа 4, с. 22 в [Hurewicz~W., Wallman~H. Dimension theory. Princeton Univ. Press,
Princeton (1948)] и последующее замечание здесь же ). Однако это противоречит тому, что сказано выше, а именно, тому что $K$ имеет топологическую размерность, большую нуля в этой точке $x.$ Значит, существует невыродженный континуум $K_1\subset \overline{B(x, \delta)}\cap K\subset f^{\,-1}(y).$ А это противоречит изначальному условию на $f.$