2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Что такое замыкание графика?
Сообщение20.05.2024, 23:06 


12/05/24
41
Пускай все написанное сверху мною - ерунда. Начнем с чистого листа.

Опять спросил ChatGPT и забыл сохранить. Из памяти:

Пусть $f: \mathbb R \to \mathbb R, f(x) = \sin(\frac 1x)$. Поскольку $f$ колеблется между $-1$ и $1$, мы можем найти $x_0, x_1$ такие, что $|f(x_0)| = |f(x_1| = 1.$ Пусть $x_1$ находится произвольно близко от $x_0$ в окрестности $U$ точки $x_0$. Тогда $|x_1f(x_1)| = |x_1|$ произвольно близка к $|x_0f(x_0)| = |x_0|$ поскольку $f$ непрырывна. Это доказывает то, что весь график $x \to x\sin (\frac 1x)_{x \ne 0}, f(0) = 1$ состоит из предельных точек.

Пусть $\varepsilon > 0.$ Выбираем $\delta = \varepsilon.$ Теперь пусть $x' = \frac{1}{2\pi k}$ для $k \in \mathbb Z_+.$ Тогда $f(x') = 0.$ То есть мы нашли точку $(x', f(x') = (\frac{1}{2\pi k}, 0)$ на графике удовлетворяющую $0< |x - 0| < \varepsilon$ и $|f(x') - 0| < \varepsilon$ что доказывает, что $(0,0)$ является предельной.

У меня возражений к этому док-ву нет. А у вас?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое замыкание графика?
Сообщение21.05.2024, 07:05 
Аватара пользователя


11/12/16
13850
уездный город Н
Bixel в сообщении #1639820 писал(а):
Опять спросил ChatGPT и


Если кто-то решит потренировать ChatGPT, то этим можно заняться без промежуточных "передатчиков" в виде Вас.
Сами решайте. И сами доказывайте. Иначе смысла помогать нет, ибо тогда - кому помогать-то?

Bixel в сообщении #1639820 писал(а):
Начнем с чистого листа.

Как-то Вы сильно радикально начали с чистого листа.
Bixel в сообщении #1639820 писал(а):
Пусть $f: \mathbb R \to \mathbb R, f(x) = \sin(\frac 1x)$.

В стартовом посте функция была другая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое замыкание графика?
Сообщение21.05.2024, 07:15 


12/05/24
41
EUgeneUS в сообщении #1639831 писал(а):
В стартовом посте функция была другая.


Док-во дано для $x \to x \sin(\frac 1x)_{x \ne 0}, f(0) = 1$.

Какие-то функций вроде $g(x) = x_1, h(x) = x_0$ есть константы, поэтому непрырывны. Тогда $g(x)f(x)$ тоже непрырывна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое замыкание графика?
Сообщение21.05.2024, 10:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7068
Bixel в сообщении #1639820 писал(а):
У меня возражений к этому док-ву нет. А у вас?

У меня всё же пока есть возражения.
1) У вас мысль произвольно скачет от одной функции к другой. Начинаете доказательство вы для функции, у которой нет множителя $x$ перед синусом. Далее в середине доказательства он уже появляется. И из контекста видно, что это не случайная описка. Так уж вы определитесь по конкретнее с функцией.
2)
Bixel в сообщении #1639820 писал(а):
Это доказывает то, что весь график $x \to x\sin (\frac 1x)_{x \ne 0}, f(0) = 1$ состоит из предельных точек.

Вы почитайте определение, что есть предельная точка. Будет ли точка $(0,1)$ предельной?
3) Вот, вы нашли предельную точку $(0,0)$, которая графику нашей функции не принадлежит. Добавили её к замыканию графика. Хорошо. Неплохо бы основать, что других точек, которые надо добавить к замыканию, нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое замыкание графика?
Сообщение22.05.2024, 00:48 


12/05/24
41
мат-ламер в сообщении #1639851 писал(а):
Так уж вы определитесь по конкретнее с функцией


Первый абзац (в последнем док-ве):

(a) функцию $x \to x\sin(\frac 1x)_{x \ne 0}, 0 \to 1$ можно обозначить как $k: x \to x\sin(\frac 1x)_{x \ne 0}, k(0) = 1.$ Тогда $f, k$ действительно две разные функций,

или

(b) $f$ можно спрятать и использовать по умолчанию как те же $g, h$ выше.

Второй абзац (в последнем док-ве):

Все упоминания $f$ поменять на $k$ при условий что функцию $x \to x\sin(\frac 1x)_{x \ne 0}, 0 \to 1$ назвали $k$.

мат-ламер в сообщении #1639851 писал(а):
Будет ли точка $(0,1)$ предельной?


Допустим $(0, 1)$ - предельная точка. Пусть $(-\varepsilon, \varepsilon)$ - окрестность нуля. Мы должны найти $x \ne 0$ для которой $k(x)$ попадает в $(1 - \varepsilon, 1 + \varepsilon)$. Но для любой $x \ne 0$, имеется тот факт,что $k(x)$ принимает значения между $-|x|$ и $|x|$. Тогда только $k(x) = 0$ может попасть в $(1 - \varepsilon, 1 + \varepsilon)$. В таком случае $x = 0$, хотя в определений функций имеем $f(0) = 1.$ Поэтому мы нашли окрестность $(0, 1)$ которая не имеет $(x, k(x)) \ne (0, 1)$ что означает $(0, 1)$ не предельна.


мат-ламер в сообщении #1639851 писал(а):
Неплохо бы основать, что других точек, которые надо добавить к замыканию, нет.


Bixel в сообщении #1639585 писал(а):
Чтоб доказать что больше предельных точек нет, берем какую-нибудь точку $(a, b)$ за пределами графика и находим ей окрестность куда не попадает ни однa точка на графике. Пускай $\varepsilon$ дистанция от ближайшей точки на графике до $(a, b)$. Тогда $graph \cup B((a, b), \frac{\varepsilon}{2}) = \varnothing$.


-- 22.05.2024, 01:39 --

$(0,0)$ не на графике, но все же является предельной. Придется наити новое док-во того, что больше предельных точек нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое замыкание графика?
Сообщение23.05.2024, 20:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7068
Bixel в сообщении #1639943 писал(а):
Придется наити новое док-во того, что больше предельных точек нет.

Можно для начала попробовать доказать, что график непрерывной функции - замкнутое множество. Для этого можно (но не обязательно) на плоскости графика рассматривать топологию декартового произведения. Она рассматривается, например, в первой главе второго тома учебника анализа Зорича.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое замыкание графика?
Сообщение24.05.2024, 04:12 


12/05/24
41
мат-ламер

Мне кажется задача себя исчерпала. Если посмотреть на изображение $K = \{(x, y):  x \ne 0, y = x\sin(\frac 1x)\} \cup \{(0, 1)\}$, то видно, что
все точки относительно $K$ (в том числе предельные) делятся на две категорий: те что вида $(0, b)$ и те что вида $(a, b)$ где $a \ne 0.$ Существуют только две точки из первой категорий, а именно $(0, 0), (0, 1)$. Но мы с ними разобрались. (Кстати, в одном из док-ов выше подкралась мелкая ошибочка, но ее легко устранить.)
Из второй категорий выбрасываем все точки непoсредственно находящийся на/в $K$. А остальные не предельны потому что:

Bixel в сообщении #1639585 писал(а):
Чтоб доказать что больше предельных точек нет, берем какую-нибудь точку $(a, b)$ за пределами графика и находим ей окрестность куда не попадает ни однa точка на графике. Пускай $\varepsilon$ дистанция от ближайшей точки на графике до $(a, b)$. Тогда $graph \cup B((a, b), \frac{\varepsilon}{2}) = \varnothing$.


Надеюсь задача наконец-то решена и мы здесь ставим жирный квадрат $\blacksquare$

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое замыкание графика?
Сообщение24.05.2024, 19:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7068
Bixel в сообщении #1640119 писал(а):
Пускай $\varepsilon$ дистанция от ближайшей точки на графике до $(a, b)$.

Надо показать, что эта дистанция (расстояние) строго больше нуля. Это не так уж и очевидно. Например, для функции $f(x)=\sin (1/x)$ (где $x \ne 0$ ) расстояние от точки $(0,0.5)$ до графика нулевое. И ближайшую точку на графике к нашей точке мы найти не сможем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое замыкание графика?
Сообщение25.05.2024, 02:34 


12/05/24
41
мат-ламер в сообщении #1640162 писал(а):
Надо показать, что эта дистанция (расстояние) строго больше нуля. Это не так уж и очевидно. Например, для функции $f(x)=\sin (1/x)$ (где $x \ne 0$ ) расстояние от точки $(0,0.5)$ до графика нулевое. И ближайшую точку на графике к нашей точке мы найти не сможем.


Пусть $(a, b)$ - любая точка где $a \ne 0, b \ne x\sin(\frac 1x)$ и пускай координаты $(a, b)$ определяет горизонтальная линия $y = b$. Давайте тогда выберем для окрестности $a$ такое $\delta > 0$ , что $k(x) = \ x\sin(\frac 1x)$ определенная на $(a - \delta, a + \delta)$ не пересекает $y = b$. Это возможно потому, что $k$ колеблется между $-|x|$ и $|x|.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое замыкание графика?
Сообщение25.05.2024, 21:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7068
Bixel в сообщении #1640187 писал(а):
Это возможно потому, что $k$ колеблется между $-|x|$ и $|x|.$

Это действительно возможно. Однако, аргументация непонятна. Ведь производная нашей функции неограниченна. То есть с приближением к началу координат это сделать всё трудней и трудней. Но, всё-таки возможно. А в самом начале координат уже срабатывает ваша аргументация. Будем считать, что доказали. Хотя изложить можно было и по понятнее. Может завтра напишу как.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group