Что такое замыкание графика?

[Bixel]

Пускай все написанное сверху мною - ерунда. Начнем с чистого листа.

Опять спросил ChatGPT и забыл сохранить. Из памяти:

Пусть $f: \mathbb R \to \mathbb R, f(x) = \sin(\frac 1x)$. Поскольку $f$ колеблется между $-1$ и $1$, мы можем найти $x_0, x_1$ такие, что $|f(x_0)| = |f(x_1| = 1.$ Пусть $x_1$ находится произвольно близко от $x_0$ в окрестности $U$ точки $x_0$. Тогда $|x_1f(x_1)| = |x_1|$ произвольно близка к $|x_0f(x_0)| = |x_0|$ поскольку $f$ непрырывна. Это доказывает то, что весь график $x \to x\sin (\frac 1x)_{x \ne 0}, f(0) = 1$ состоит из предельных точек.

Пусть $\varepsilon > 0.$ Выбираем $\delta = \varepsilon.$ Теперь пусть $x' = \frac{1}{2\pi k}$ для $k \in \mathbb Z_+.$ Тогда $f(x') = 0.$ То есть мы нашли точку $(x', f(x') = (\frac{1}{2\pi k}, 0)$ на графике удовлетворяющую $0< |x - 0| < \varepsilon$ и $|f(x') - 0| < \varepsilon$ что доказывает, что $(0,0)$ является предельной.

У меня возражений к этому док-ву нет. А у вас?

[EUgeneUS]

Bixel в сообщении #1639820 писал(а):

Опять спросил ChatGPT и

Если кто-то решит потренировать ChatGPT, то этим можно заняться без промежуточных "передатчиков" в виде Вас.
Сами решайте. И сами доказывайте. Иначе смысла помогать нет, ибо тогда - кому помогать-то?

Bixel в сообщении #1639820 писал(а):

Начнем с чистого листа.

Как-то Вы сильно радикально начали с чистого листа.

Bixel в сообщении #1639820 писал(а):

Пусть $f: \mathbb R \to \mathbb R, f(x) = \sin(\frac 1x)$.

В стартовом посте функция была другая.

[Bixel]

EUgeneUS в сообщении #1639831 писал(а):

В стартовом посте функция была другая.

Док-во дано для $x \to x \sin(\frac 1x)_{x \ne 0}, f(0) = 1$.

Какие-то функций вроде $g(x) = x_1, h(x) = x_0$ есть константы, поэтому непрырывны. Тогда $g(x)f(x)$ тоже непрырывна.

[мат-ламер]

Bixel в сообщении #1639820 писал(а):

У меня возражений к этому док-ву нет. А у вас?

У меня всё же пока есть возражения.
1) У вас мысль произвольно скачет от одной функции к другой. Начинаете доказательство вы для функции, у которой нет множителя $x$ перед синусом. Далее в середине доказательства он уже появляется. И из контекста видно, что это не случайная описка. Так уж вы определитесь по конкретнее с функцией.
2)

Bixel в сообщении #1639820 писал(а):

Это доказывает то, что весь график $x \to x\sin (\frac 1x)_{x \ne 0}, f(0) = 1$ состоит из предельных точек.

Вы почитайте определение, что есть предельная точка. Будет ли точка $(0,1)$ предельной?
3) Вот, вы нашли предельную точку $(0,0)$, которая графику нашей функции не принадлежит. Добавили её к замыканию графика. Хорошо. Неплохо бы основать, что других точек, которые надо добавить к замыканию, нет.

[Bixel]

мат-ламер в сообщении #1639851 писал(а):

Так уж вы определитесь по конкретнее с функцией

Первый абзац (в последнем док-ве):

(a) функцию $x \to x\sin(\frac 1x)_{x \ne 0}, 0 \to 1$ можно обозначить как $k: x \to x\sin(\frac 1x)_{x \ne 0}, k(0) = 1.$ Тогда $f, k$ действительно две разные функций,

или

(b) $f$ можно спрятать и использовать по умолчанию как те же $g, h$ выше.

Второй абзац (в последнем док-ве):

Все упоминания $f$ поменять на $k$ при условий что функцию $x \to x\sin(\frac 1x)_{x \ne 0}, 0 \to 1$ назвали $k$.

мат-ламер в сообщении #1639851 писал(а):

Будет ли точка $(0,1)$ предельной?

Допустим $(0, 1)$ - предельная точка. Пусть $(-\varepsilon, \varepsilon)$ - окрестность нуля. Мы должны найти $x \ne 0$ для которой $k(x)$ попадает в $(1 - \varepsilon, 1 + \varepsilon)$. Но для любой $x \ne 0$, имеется тот факт,что $k(x)$ принимает значения между $-|x|$ и $|x|$. Тогда только $k(x) = 0$ может попасть в $(1 - \varepsilon, 1 + \varepsilon)$. В таком случае $x = 0$, хотя в определений функций имеем $f(0) = 1.$ Поэтому мы нашли окрестность $(0, 1)$ которая не имеет $(x, k(x)) \ne (0, 1)$ что означает $(0, 1)$ не предельна.

мат-ламер в сообщении #1639851 писал(а):

Неплохо бы основать, что других точек, которые надо добавить к замыканию, нет.

Bixel в сообщении #1639585 писал(а):

Чтоб доказать что больше предельных точек нет, берем какую-нибудь точку $(a, b)$ за пределами графика и находим ей окрестность куда не попадает ни однa точка на графике. Пускай $\varepsilon$ дистанция от ближайшей точки на графике до $(a, b)$. Тогда $graph \cup B((a, b), \frac{\varepsilon}{2}) = \varnothing$.

-- 22.05.2024, 01:39 --

$(0,0)$ не на графике, но все же является предельной. Придется наити новое док-во того, что больше предельных точек нет.

[мат-ламер]

Bixel в сообщении #1639943 писал(а):

Придется наити новое док-во того, что больше предельных точек нет.

Можно для начала попробовать доказать, что график непрерывной функции - замкнутое множество. Для этого можно (но не обязательно) на плоскости графика рассматривать топологию декартового произведения. Она рассматривается, например, в первой главе второго тома учебника анализа Зорича.

[Bixel]

мат-ламер

Мне кажется задача себя исчерпала. Если посмотреть на изображение $K = \{(x, y): x \ne 0, y = x\sin(\frac 1x)\} \cup \{(0, 1)\}$, то видно, что
все точки относительно $K$ (в том числе предельные) делятся на две категорий: те что вида $(0, b)$ и те что вида $(a, b)$ где $a \ne 0.$ Существуют только две точки из первой категорий, а именно $(0, 0), (0, 1)$. Но мы с ними разобрались. (Кстати, в одном из док-ов выше подкралась мелкая ошибочка, но ее легко устранить.)
Из второй категорий выбрасываем все точки непoсредственно находящийся на/в $K$. А остальные не предельны потому что:

Bixel в сообщении #1639585 писал(а):

Чтоб доказать что больше предельных точек нет, берем какую-нибудь точку $(a, b)$ за пределами графика и находим ей окрестность куда не попадает ни однa точка на графике. Пускай $\varepsilon$ дистанция от ближайшей точки на графике до $(a, b)$. Тогда $graph \cup B((a, b), \frac{\varepsilon}{2}) = \varnothing$.

Надеюсь задача наконец-то решена и мы здесь ставим жирный квадрат $\blacksquare$

[мат-ламер]

Bixel в сообщении #1640119 писал(а):

Пускай $\varepsilon$ дистанция от ближайшей точки на графике до $(a, b)$.

Надо показать, что эта дистанция (расстояние) строго больше нуля. Это не так уж и очевидно. Например, для функции $f(x)=\sin (1/x)$ (где $x \ne 0$ ) расстояние от точки $(0,0.5)$ до графика нулевое. И ближайшую точку на графике к нашей точке мы найти не сможем.

[Bixel]

мат-ламер в сообщении #1640162 писал(а):

Надо показать, что эта дистанция (расстояние) строго больше нуля. Это не так уж и очевидно. Например, для функции $f(x)=\sin (1/x)$ (где $x \ne 0$ ) расстояние от точки $(0,0.5)$ до графика нулевое. И ближайшую точку на графике к нашей точке мы найти не сможем.

Пусть $(a, b)$ - любая точка где $a \ne 0, b \ne x\sin(\frac 1x)$ и пускай координаты $(a, b)$ определяет горизонтальная линия $y = b$. Давайте тогда выберем для окрестности $a$ такое $\delta > 0$ , что $k(x) = \ x\sin(\frac 1x)$ определенная на $(a - \delta, a + \delta)$ не пересекает $y = b$. Это возможно потому, что $k$ колеблется между $-|x|$ и $|x|.$

[мат-ламер]

Bixel в сообщении #1640187 писал(а):

Это возможно потому, что $k$ колеблется между $-|x|$ и $|x|.$

Это действительно возможно. Однако, аргументация непонятна. Ведь производная нашей функции неограниченна. То есть с приближением к началу координат это сделать всё трудней и трудней. Но, всё-таки возможно. А в самом начале координат уже срабатывает ваша аргументация. Будем считать, что доказали. Хотя изложить можно было и по понятнее. Может завтра напишу как.