Основания классического математического анализа.

[talash]

epros в сообщении #1639876 писал(а):

Пока вижу, что идея предела требуется, ибо без неё неизвестно как можно доказать, что десятичная дробь начиная с некоторой цифры не станет периодической.

На примере $\sqrt2$. Сначала доказывается, что отношение двух натуральных чисел это всегда или конечное число или бесконечная периодическая дробь. Затем доказывается, что квадрат отношения натуральных чисел не может быть равен 2. Отсюда следует, что бесконечный алгоритм(их много разных для вычисления корня), из которого можно получать измеримые числа - приближения $\sqrt2$, будет являться иррациональным числом.

-- 21.05.2024, 21:31 --

dgwuqtj в сообщении #1639890 писал(а):

Те десятичные дроби, которые получаются алгоритмически, не замкнуты относительно сложения. Ну и проверка равенства/порядка на них алгоритмически неразрешима.

Можете привести пример проблемы?

[dgwuqtj]

talash в сообщении #1639935 писал(а):

Можете привести пример проблемы?

Насчёт суммы я был неправ, сложение как раз определено. Но нет универсального алгоритма для сложения, который бы по программам для слагаемых выдавал программу для суммы. Возьмём $x = 0{,}888\ldots$ и $y = 0{,}s_1s_2s_3\ldots$, где $s_i \in \{0, 1\}$. Чтобы посчитать целую часть $x + y$, надо узнать, все ли $s_i$ равны 1. Ну а это невозможно сделать алгоритмически, имея только программу, по которой строятся $s_i$ (такая задача сводится к проблеме остановки). Со сравнением аналогично, нельзя проверить равенство $y$ числу $0{,}111\ldots$ универсальным алгоритмом.

[epros]

talash в сообщении #1639935 писал(а):

Затем доказывается, что квадрат отношения натуральных чисел не может быть равен 2.

Докажите.

dgwuqtj в сообщении #1639939 писал(а):

Насчёт суммы я был неправ, сложение как раз определено.

Ну почему же. Ранее я приводил пример конструктивного действительного числа $x$, про которое неизвестно, равно ли оно нулю или чуть больше. Число $1-x$ будет равно единице или чуть меньше, а это значит, что ни одной цифры его представления десятичной дробью неизвестно.

Пример со сложением $\frac{8}{9}$ и $\frac{1}{9}$ в качестве опровергающего, конечно, не подходит, там все три десятичные дроби известны. Но если второе число неизвестно равно ли $\frac{1}{9}$ или чуть меньше, то подходит.

[talash]

dgwuqtj в сообщении #1639939 писал(а):

Возьмём $x = 0{,}888\ldots$ и $y = 0{,}s_1s_2s_3\ldots$, где $s_i \in \{0, 1\}$.

Что такое $y$? Это бесконечная, то есть, невозможная, запись?

-- 22.05.2024, 08:45 --

При этом, что такое $x$ понятно, это бесконечный алгоритм, в котором мы можем провести любое конечное число итераций и получить измеримое число с желаемой точностью.

-- 22.05.2024, 08:47 --

epros в сообщении #1639961 писал(а):

Докажите.

Доказательство иррациональности $\sqrt2$

[dgwuqtj]

talash в сообщении #1639963 писал(а):

Что такое $y$? Это бесконечная, то есть, невозможная, запись?

Вы же сами писали, что числа представляются программами для абстрактной вычислительной машины. Вот $y$ так и представляется, конечным текстом, просто для удобства мы дополнительно считаем, что программа выдаёт нулевую целую часть и только цифры 0 и 1 после запятой.

epros в сообщении #1639961 писал(а):

Ну почему же.

Конечно, но при этом сумму каким-то алгоритмом задать можно: либо это конечная десятичная дробь, либо можно просто складывать в столбик и делать переносы, бесконечных цепочек переносов не будет. Просто различить эти 2 случая нельзя.

[epros]

talash в сообщении #1639963 писал(а):

epros в сообщении #1639961 писал(а):

Докажите.

Доказательство иррациональности $\sqrt2$

Правильно ли я понял, что раз это доказательство не использует понятия предела, то Вы вообще в состоянии без него обойтись при определении иррациональных чисел?

Дело в том, что это доказательство основано на том, что чётные числа отличаются от нечётных. Это вроде как очевидно, но для очень больших чисел чисто технически можно ожидать сбои при подсчёте количества двоек в простых сомножителях. Заявление о том, что "в принципе" их всегда можно подсчитать точно, во многом аналогично заявлению о том, что предел можно вычислить с любой точностью.

dgwuqtj в сообщении #1639966 писал(а):

epros в сообщении #1639961 писал(а):

Ну почему же.

Конечно, но при этом сумму каким-то алгоритмом задать можно: либо это конечная десятичная дробь, либо можно просто складывать в столбик и делать переносы, бесконечных цепочек переносов не будет. Просто различить эти 2 случая нельзя.

Вы писали: "Те десятичные дроби, которые получаются алгоритмически, не замкнуты относительно сложения", - и по-моему здесь всё правильно, ибо $1-x$ нельзя алгоритмически записать десятичной дробью в том смысле, что этот алгоритм (возможно) не будет иметь точки останова при расчёте даже первой цифры этой дроби.

[dgwuqtj]

epros в сообщении #1639978 писал(а):

по-моему здесь всё правильно, ибо $1-x$ нельзя алгоритмически записать десятичной дробью в том смысле, что этот алгоритм (возможно) не будет иметь точки останова при расчёте даже первой цифры этой дроби.

Я утверждаю следующее: для любого алгоритма, выдающего цифры десятичной записи некоторого вещественного числа $x$, существует алгоритм, выдающий цифры $1 - x$, и аналогично для суммы. Такой алгоритм действительно существует, просто мы его не можем конструктивно предъявить. Если $x = 0$, будет один алгоритм, а иначе другой.

[epros]

dgwuqtj в сообщении #1639984 писал(а):

Я утверждаю следующее: для любого алгоритма, выдающего цифры десятичной записи некоторого вещественного числа $x$, существует алгоритм, выдающий цифры $1 - x$, и аналогично для суммы. Такой алгоритм действительно существует, просто мы его не можем конструктивно предъявить. Если $x = 0$, будет один алгоритм, а иначе другой.

Понятно, что в смысле классической логики алгоритм, печатающий любое конечное количество цифр "существует", даже если мы не знаем этих цифр и у нас нет кода алгоритма. Я, конечно, имел в виду, что слова "получаются алгоритмически" означают, что можно записать один конкретный исполняемый код, генерирующий последовательность цифр любой длины. Это не то же самое, что для любой конечной последовательности цифр записать генерирующий её код.

[talash]

Напоминаю, измеримое число, это то что наблюдатель(живой человек) видит в компьютерной программе, прикладывая идеальную линейку к объекту. Он не видит точное число, он всегда видит приближённое число. Он не может различить, что задано внутри программы 0.(9) или 1.(0). Если задать длину объекта, как сумму бесконечных алгоритмов, которая то ли чуть меньше единицы, то ли в точности равна единице и наблюдатель приложит линейку и получит измеримое число $1.000000$ с точностью до миллионных долей. А на самом деле точное число чуть меньше единицы, то тут нет проблемы, потому что наблюдатель получил приближённое число.

-- 22.05.2024, 20:14 --

То есть, нам не нужно складывать бесконечные алгоритмы, это невозможно, потому что они бесконечные, их сумму мы храним как сумму, а не как результат.

[dgwuqtj]

talash в сообщении #1640032 писал(а):

Если задать длину объекта, как сумму бесконечных алгоритмов, которая то ли чуть меньше единицы, то ли в точности равна единице

Вы бы это перевели в стандартную терминологию, что ли. Если речь идёт про конструктивные вещественные числа, то про них уже писали, там со сравнениями всё равно проблема. Ещё можно вообще отказаться от понятия вещественных чисел и всегда работать только с приближениями, но от этого формулировки всех результатов сразу усложнятся.

[epros]

talash в сообщении #1640032 писал(а):

тут нет проблемы, потому что наблюдатель получил приближённое число.

Проблема в том, что приближённое число не является точным.

-- Чт май 23, 2024 09:13:52 --

talash в сообщении #1640032 писал(а):

То есть, нам не нужно складывать бесконечные алгоритмы, это невозможно, потому что они бесконечные, их сумму мы храним как сумму, а не как результат.

Напомню, что у конструктивных действительных чисел нет проблем со сложением, они возникают только у десятичных/двоичных дробей. Я об этом уже говорил. Проблема алгоритмической неразрешимости сравнения, правда, всё равно остаётся.

[gefest_md]

talash в сообщении #1639722 писал(а):

Здание не может строиться с крыши, она упадёт.

talash в сообщении #1639722 писал(а):

Один из возможных критериев правильности оснований это практическая продуктивность того, что из них получается.

Не то ли имеет больший приоритет, что при выбранном основании здание должно устоять? И смотрит ли кто на основание если здание стоит себе и стоит?

-- Чт май 23, 2024 16:18:55 --

Лично я довольствуюсь интуитивной очевидностью непротиворечивости теории множеств.

[mihaild]

epros в сообщении #1639990 писал(а):

Я, конечно, имел в виду, что слова "получаются алгоритмически" означают, что можно записать один конкретный исполняемый код, генерирующий последовательность цифр любой длины

Так можно же.
Давайте возьмем какое-нибудь конкретное "плохое" число $x$, например с единицами на позициях, номера которых кодируют доказательство противоречивости PA. Естественно арифметика не может сказать, равно оно нулю или нет. Но легко может доказать, что существует алгоритм, печатающий $1 - x$.

[epros]

mihaild в сообщении #1640082 писал(а):

epros в сообщении #1639990 писал(а):

Я, конечно, имел в виду, что слова "получаются алгоритмически" означают, что можно записать один конкретный исполняемый код, генерирующий последовательность цифр любой длины

Так можно же.
Давайте возьмем какое-нибудь конкретное "плохое" число $x$, например с единицами на позициях, номера которых кодируют доказательство противоречивости PA. Естественно арифметика не может сказать, равно оно нулю или нет. Но легко может доказать, что существует алгоритм, печатающий $1 - x$.

Как там быть с доказательством противоречивости PA я не знаю. Вроде бы она с точки зрения достаточно разумной аксиоматики непротиворечива. Но вот давайте докажем существование алгоритма, выдающего любое количество десятичных цифр $1-x$, где $n$-ая десятичная цифра $x$ после запятой равна $1$, если $2n+1$ - совершенное число и $0$ в ином случае.

[mihaild]

epros в сообщении #1640084 писал(а):

Но вот давайте докажем существование алгоритма, выдающего любое количество десятичных цифр $1-x$, где $n$-ая десятичная цифра $x$ после запятой равна $1$, если $2n+1$ - совершенное число и $0$ в ином случае

Пожалуйста. Если существует максимальное нечетное совершенное число (или их вообще не существует), то это алгоритм вида "напечатать конечную строку и потом единицы". Если не существует, то это алгоритм "ищем перебором очередное нечетное совершенное число, и, найдя, выдаем соответствующее количество единиц и потом ноль".