2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Математика и философия математики
Сообщение07.05.2024, 22:31 


01/09/14
19/11/24
500
iifat в сообщении #1638419 писал(а):
talash в сообщении #1638418 писал(а):
Вы сейчас поставили философский вопрос и провели философские рассуждения
Здесь было бы уместно, имхо, привести отрывок из «Осмотр на месте» про философские воззрения снёсшей яйцо курицы. Но не буду — лень и длинно. А вы могли бы привести парочку философов, рассматривающих вопрос, поднятый предыдущим оратором?

Знаю одного, но я немногих читал.
А.Пуанкаре писал(а):
Для чистого геометра эта способность необходима. Доказывают при помощи логики, изобретают при помощи интуиции. Хорошо уметь критиковать, еще лучше — уметь творить. Вы способны распознать, правильна ли данная комбинация, и это недурно, раз {465} вы не обладаете искусством сделать выбор между всеми возможными комбинациями. Логика нам говорит, что на таком-то пути мы можем быть уверены, что не встретим препятствий; она не говорит, какой путь ведет к цели. Для этого необходимо видеть цель издалека, и интуиция есть та способность, которая этому нас учит. Без нее геометр походил бы на писателя, который был бы прикован к грамматике, но не имел бы идей. Но как может развиться такая способность, раз ее преследуют и изгоняют, лишь только она обнаруживается, раз приучают относиться к ней с недоверием еще раньше, чем убедились в пользе, которую она может принести.

Позвольте мне здесь мимоходом остановиться на важности письменных работ. Эти работы занимают, быть может, слишком мало места на экзаменах, например, в Политехнической школе. Мне говорят, что такие работы закрыли бы доступ хорошим ученикам, которые понимают пройденные курсы, хорошо их знают, но не способны сделать из них ни малейшего применения. Я сказал выше, что слово «понимать» имеет несколько значений: эти ученики «понимают» определения в первом из указанных мною значений этого слова; но мы видели, что такого понимания недостаточно ни для инженера, ни для геометра. Атак как здесь необходимо сделать выбор, то я предпочитаю выбрать тех, которые понимают вполне.

10. Но искусство правильно рассуждать разве не есть драгоценное качество, которое преподаватель математики должен прежде всего культивировать? Я этого не забываю. Об этом нужно позаботиться с самого начала. Я был бы в отчаянии, если бы увидел, что геометрия выродилась в какую-то тахеометрию1) нижайшего уровня, и нисколько не подписываюсь под крайними доктринами некоторых немецких обер-учителей. Но при изучении математики и именно тех отделов ее, где указанные выше неудобства не встречаются, бывает немало случаев, которые дают место для упражнения учеников в правильном рассуждении. У нас имеются длинные сцепления {466} теорем, в которых абсолютная логика сразу и как будто естественно заняла господствующее положение и которые, как образцы, вышедшие из рук первых геометров, достойны всякого удивления и подражания.

Именно в изложении основных принципов нужно избегать излишних тонкостей Здесь они и не привились бы и к тому же были бы бесполезны Нельзя все доказать и нельзя все определить Приходится всегда делать заимствование у интуиции. Неважно, сделаем ли мы это заимствование немного раньше или немного позже, будет ли оно немного больше или меньше, лишь бы мы, правильно пользуясь теми посылками, которые даны нам интуицией, научились правильно рассуждать.

11. Можно ли, однако, удовлетворить столь противоположным условиям? Возможно ли это в особенности тогда, когда приходится дать определение? Как найти такую краткую формулировку, которая одновременно удовлетворяла бы непреклонным правилам логики, нашему желанию понять то место, которое занимает новое понятие в совокупности знаний, нашей необходимости мыслить образами? Чаще всего такой формулировки найти нельзя, и вот почему недостаточно высказать определение: необходимо его подготовить и необходимо его оправдать.

Что я хочу этим сказать? Вы знаете, как часто говорят: всякое определение включает в себя аксиому, так как оно утверждает существование определенного объекта. Определение будет, следовательно, оправдано с точки зрения логической лишь тогда, когда будет доказано, что оно не находится в противоречии ни с терминами, ни с ранее допущенными истинами.

Но это не все. Определение теперь называют соглашением; но большинство умов возмутится, если вы захотите навязать это определение как соглашение произвольное. Они успокоятся только тогда, когда вы им дадите ответ на многочисленные вопросы, которые у них возникнут.

Чаще всего математические определения, как это показал Лиар, суть целые построения, составленные при помощи простейших понятий. Но почему эти элементы соединены именно данным образом, когда {467} возможна еще тысяча других способов соединения? Каприз ли это? А если нет, то почему данная комбинация имеет больше прав на существование, чем все прочие? Какой необходимости она отвечает? Как можно было предвидеть, что она сыграет важную роль в развитии науки, что она сократит наши суждения и наши вычисления? Существует ли в природе некоторый особый предмет, который является, так сказать, неясным и грубым прообразом такой комбинации?

Это не все. Если вы ответите на эти вопросы удовлетворительно, то мы увидим, что принятую комбинацию нужно окрестить каким-либо именем. Но выбор имени не является произвольным. Нужно объяснить, какими аналогиями руководились, избирая имя. Если же аналогичное имя присваивалось различным вещам, то нужно показать, что эти вещи отличаются между собой только материально, по форме же близки друг к другу, что их свойства подобны и, так сказать, параллельны.

Вот какой ценой можно удовлетворить всем притязаниям. Если формулировка достаточно правильна, чтобы удовлетворить логика, то ее оправдание удовлетворит интуитивиста. Но лучше поступить иначе: необходимо, чтобы оправдание во всех случаях, когда это возможно, предшествовало формулировке и подготовляло ее; изучение нескольких частных примеров лучше всего приводит к общей формулировке.

Еще другое обстоятельство: каждая часть формулированного определения имеет целью установить отличие определяемого объекта от класса других близких предметов. Определение будет понято лишь тогда, когда вы покажете не только определяемый предмет, но и те соседние предметы, от которых его надобно отличать; когда вы сделаете явственным это отличие и при этом прибавите: «вот для чего я внес в определение то-то и то-то».

Теперь нам нужно перейти от общих суждений К исследованию вопроса, каким образом все изложенные мною несколько абстрактные принципы могут быть приложены в арифметике, геометрии, анализе и механике.


-- 07.05.2024, 21:37 --

Anton_Peplov в сообщении #1638420 писал(а):
Диванным замечанием между двумя рюмками чая.

Философия - это систематизированная и подробно разработанная система взглядов. Если бы я мог привести десять признаков плодотворного определения и обосновать каждый из них, это бы еще куда-нибудь годилось. И то не уверен, что подобный текст можно было бы назвать философским, а не, скажем, математиковедческим. Философия, как мне кажется, подразумевает большую общность вопросов, чем "какие математические определения интересны математикам".

Вы множите сущности без необходимости. Вот бывает говорят "гипотеза в порядке бреда". Значит непродуманная только что пришедшая на ум гипотеза. Хотя, обычно гипотеза это что-то более серьёзное. Также и у Вас получается мнение о философской проблеме без претензий на его проработанность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математика и философия математики
Сообщение07.05.2024, 22:40 


22/10/20
1185
Anton_Peplov в сообщении #1638395 писал(а):
Предпочитаю говорить, что определения бывают не правильными и неправильными, а интересными/полезными/плодотворными и нет.
Согласен. Так действительно лучше.

Anton_Peplov в сообщении #1638420 писал(а):
Философия, как мне кажется, подразумевает большую общность вопросов, чем "какие математические определения интересны математикам".
Ну, в этой теме речь больше про философию математики, а не про "общую" философию. По-моему, такие вопросы вполне релевантны ей. Кстати, это тоже можно целую тему поднимать, про то что важнее: определения, теоремы или доказательства. Я понимаю, что тут дежурный ответ, что важно всё, но тем не менее, если начистоту, лично мне определения кажутся наиболее важными из перечисленного (затем доказательства, и только в самом конце теоремы).

talash в сообщении #1638418 писал(а):
Вы сейчас поставили философский вопрос и провели философские рассуждения. Но сами Вы не считаете это философией? А как это называется?
Вам правильно ответили, что философия - это развитая система взглядов, а не просто разговоры на форуме. Серьезный философский аргумент могу бы звучать как-нибудь в стиле: "Мы философы майнонгианцы, и мы разработали вариант интуиционистской логики с двумя кванторами существования, с помощью которой мы смогли проще решить такие-то и такие-то математические проблемы, вот вам мануал, курите". Вот это было бы круто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математика и философия математики
Сообщение07.05.2024, 23:11 


31/01/24
757
talash в сообщении #1638425 писал(а):
Вы множите сущности без необходимости


Нет, лишь констатируется факт, что академическая философия - это большая разветвленная система знания, а не любой набор мыслей и рассуждений, что приходиn в голову.

kry в сообщении #1638425 писал(а):
Вы, безусловно, можете сколько угодно ударяться в философский постмодернизм и допускать, что угодно, например, что бог и существует, и не существует одновременно, или что он не существует на $1/87$, или в разном понимании слова "существует", или в разных частях реальности/разных реальностях и другие части реальности/реальности просто недоступны для нашего познания и какого-либо прямого или косвенного взаимодействия с нами, или что существуют другие виды бытия, принципиально невзаимодействующие и непостижимые нами и т.д., и т.п. до бесконечности. Продолжать можно вечно. Философия и метафилософия как абстрактные науки вообще тотально безначальны, всеохватны и бесконечны в своем разнообразии и позволяют придумать абсолютно все, что угодно (а еще больше мы не можем представить и допустить хотя бы в силу биологических ограничений развития нашей ЦНС и психики, ограничений языка и логики и пр.), однако, как я уже неоднократно писал на форуме, это не значит, что все эти бесчисленные варианты мы должны всерьез обсуждать, ибо в лучшем случае это просто интеллектуальная/языковая игра и не более того, а философия и метафилософия могут считаться науками только в некоторой своей части и с отдельными оговорками:

kry в сообщении #1269881 писал(а):
А вообще я стараюсь не забывать, что теория систем, как и любая другая абстрактная или формальная наука, в частности философия (насколько она вообще может считаться наукой), да и математика, пожалуй, в каком-то плане тоже, в немалой степени лишь интеллектуальная игра и наукой, на мой взгляд, она может считаться ровно настолько, насколько прямо или косвенно имеет практическое применение для понимания реальности. А иначе можно скатиться легко до раздачи статуса науки покемонологии и прочей астрологии-гомеопатии-теологии.

kry в сообщении #1269881 писал(а):
А вообще я стараюсь не забывать, что теория систем, как и любая другая абстрактная или формальная наука, в частности философия (насколько она вообще может считаться наукой), да и математика, пожалуй, в каком-то плане тоже, в немалой степени лишь интеллектуальная игра и наукой, на мой взгляд, она может считаться ровно настолько, насколько прямо или косвенно имеет практическое применение для понимания реальности. А иначе можно скатиться легко до раздачи статуса науки покемонологии и прочей астрологии-гомеопатии-теологии.


Именно тут надо решить метафилософские проблемы всеохватности философии и определения предмета философии, иначе под философию можно подвести все, что угодно, и не только познавательную деятельность человека, но и назвать предметом философии и саму реальность, и еще что-нибудь (можно, к примеру, придумать, что мироздание не ограничивается объективной реальностью и субъективными реальностями) и т.д., и т.д., и т.д. Чтобы не заниматься подобным дурдомом и не говорить, что куртка, голубь у соседнего подъезда или любая фантазия, пришедшая в голову любому человеку, могут являться предметом философии или по крайней мере философии как науки, были разработаны определенные критерии ограничения предмета философии как науки. Сейчас не вижу смысла перечислять их все (изучение решения этих проблем в виде факультатива на философском факультете МГУ, на секундочку, занимало целый семестровый курс), но из них в частности вытекает то, что та часть философии, которая может считаться наукой, построена таким образом, что она стремиться дать вполне однозначные ответы на адекватные вопросы.


-- 07.05.2024, 23:17 --

EminentVictorians в сообщении #1638427 писал(а):
Серьезный философский аргумент могу бы звучать как-нибудь в стиле: "Мы философы майнонгианцы, и мы разработали вариант интуиционистской логики с двумя кванторами существования, с помощью которой мы смогли проще решить такие-то и такие-то математические проблемы, вот вам мануал, курите". Вот это было бы круто.


Философские и математические науки сейчас плотно соединены и не столько на поле философии математики, метаматематики и оснований математики, сколько на поле формальной философии, и в рамках этого соединения работает вполне с серьезными академическими задачами (например, 1, 2, 3 и т.д.).

 Профиль  
                  
 
 Re: Математика и философия математики
Сообщение08.05.2024, 00:14 


22/10/20
1185
Ghost_of_past в сообщении #1638432 писал(а):
(например, 1, 2, 3 и т.д.).
Спасибо, очень интересно! Формальная философия - это для меня новое открытие. Сейчас меня больше интересуют формальные и "полу-формальные" искусственные языки, знаковые системы, нотации и все в таком духе (в том числе, и наверное даже в первую очередь, в контексте философии). Не подскажете, в какую сторону гуглить? Слышал про философию языка (кстати, благодаря Вам!), но там столько всего, что глаза разбегаются. Да и сложно без философского бэкграунда правильно понять, на что обращать внимание, а на что - нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математика и философия математики
Сообщение08.05.2024, 00:50 


31/01/24
757
EminentVictorians в сообщении #1638436 писал(а):
Сейчас меня больше интересуют формальные и "полу-формальные" искусственные языки, знаковые системы, нотации и все в таком духе (в том числе, и наверное даже в первую очередь, в контексте философии). Не подскажете, в какую сторону гуглить?


Если знаковые системы и нотации, то это семиотика/семиология. Если формальные искусственные языки, то здесь как раз стык лингвистики, теоретической информатики, математики, логики и философии, и этим занимается в том числе и та же Международная лаборатория логики, лингвистики и формальной философии Вышки. Ну или любой сходной междисциплинарной научной организации, вроде кафедры логики и формальной философии на философском факультете МГУ. В принципе это как раз близко с логической семантикой отсюда, но, видимо, с еще чуть большим упором в математическую лингвистику и теорию формальных систем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математика и философия математики
Сообщение08.05.2024, 01:01 


22/10/20
1185
Ghost_of_past, большое спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Математика и философия математики
Сообщение08.05.2024, 03:23 


12/07/15
3291
г. Чехов
Psixonaut в сообщении #1638354 писал(а):
Математики это слово не употребляют. Но по-вашему доказательство теорем является познанием или нет?

Вот я, допустим, провел эксперимент и открыл физический закон. В какое место вставить ваши теоремы Гёделя? Я произвел "познание" безо всяких проблем.
Почему такие как вы говорят, что ИИ невозможен из-за теорем Гёделя, он невычислим?
Почему такие как вы торопятся делать выводы? Почему не вникают в те научные данные, которые приводят как аргумент?

Вы только не отмазывайтесь. Вы ж тоже связали Гёделя с непознаваемостью. Расскажите нам, что это такое...

 Профиль  
                  
 
 Re: Математика и философия математики
Сообщение08.05.2024, 04:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Mihaylo в сообщении #1638445 писал(а):
Почему такие как вы говорят, что ИИ невозможен из-за теорем Гёделя, он невычислим?
Почему такие как вы торопятся делать выводы? Почему не вникают в те научные данные, которые приводят как аргумент?
А такие как я (тут я окидываю взглядом бесконечное множество собственных клонов) вообще не понимают, о чём речь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математика и философия математики
Сообщение08.05.2024, 08:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
EminentVictorians в сообщении #1638367 писал(а):
Понятия не исчерпываются голыми математическими определениями, есть метауровень, на котором, помимо прочего, должно объясняться, почему одни определения правильные, а другие - нет. Уже как минимум для этого нужна философия математики.

Правильной дорогой идёте товарищи! :wink: Остался шаг до признания того, что "неправильны" те определения, которые основаны на неконструктивной аксиоматике, т.е. позволяют утверждать существование объектов, построить которые (привести конкретный пример) невозможно, типа нелинейной аддитивной функции $\mathbb R  \to \mathbb R$ или способа разбиения шара на конечное количество кусков, из которых можно сложить два таких же шара.

Вот такая философия математики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математика и философия математики
Сообщение22.05.2024, 20:21 


10/03/16
4444
Aeroport
Ghost_of_past в сообщении #1638432 писал(а):
например, 1, 2, 3 и т.д.

это скорее computer science, чем философия.
- Давайте, ozheredov, вы не будете учить умных людей тому, что как правильно называеть.
- Хорошо, без проблем, просто эти исследования не заточены под ответы на философские вопросы "кто мы такие", "куда идем", "почему работает матан" и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математика и философия математики
Сообщение22.05.2024, 21:17 


31/01/24
757
ozheredov в сообщении #1640028 писал(а):
это скорее computer science, чем философия.


Это стык формальной философии, computer science, логики, в том числе математической логики, теоретической лингвистики и целого ряда других наук, преимущественно абстрактных.

ozheredov в сообщении #1640028 писал(а):
"кто мы такие", "куда идем", "почему работает матан" и т.д.


Кажется, на эти вопросы философия сейчас, пожалуй, и не отвечает, ну кроме третьего - и то он на стыке ряда математических наук и философии математики. Первый же вопрос давно относится к биологии, антропологии, социологии т.д. Второй - в области частных наук и может быть футурологии, но уже не совсем философии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математика и философия математики
Сообщение23.05.2024, 07:41 


12/07/15
3291
г. Чехов
Ghost_of_past в сообщении #1640035 писал(а):
Это стык формальной философии, computer science, логики, в том числе математической логики, теоретической лингвистики и целого ряда других наук, преимущественно абстрактных.

Нет необходимости, ненужное вычеркнул. Статьи переписать, избавив от излишней зауми.
Получится пшик.

Если научиться общаться по существу, то философия исчезает.

-- 23.05.2024, 07:51 --

Отсюда:
https://llfp.hse.ru/news/914791332.html
Цитата:
Индикативная условная связь в данных логических теориях фиксируется посредством интуиционистской импликации, рассматриваемой как обозначение эпистемологического условия, а контрфактическая условная связь – посредством двух кондициональных операторов, сильного и слабого, по Д. Льюису, выражающих онтические допущения наличия некоторого положения дел, описанного в антецеденте контрфактуала и не имеющего место в актуальном мире, в так называемых ближайших возможных мирах.

Это ж надо же как сложно о простом!

Дядя Вася имел в виду, что не все правильно понимают логику "Если А, то Б" и от этого начинаются глюки, вплоть до несуществующих миров, а нам философам только это и надо.

Извините, что раскрыл секрет методом перехода к метафилософии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математика и философия математики
Сообщение23.05.2024, 10:26 
Заслуженный участник


18/01/15
3221
Mihaylo в сообщении #1640046 писал(а):
Это ж надо же как сложно о простом!
Дык, это же классика, можно сказать !
Р.Фейнман писал(а):
На конференции был один социолог, который написал работу, чтобы ее прочитали все мы – он написал ее предварительно. Я начал читать эту дьявольщину, и мои глаза просто полезли из орбит: я ни черта не мог в ней понять! Я подумал, что причина в том, что я не прочел ни одной книги из предложенного списка. Меня не отпускало это неприятное
ощущение “своей неадекватности”, до тех пор пока я, наконец, не сказал себе: “Я остановлюсь и прочитаю одно предложение медленно, чтобы понять, что, черт возьми, оно значит”.

Итак, я остановился – наугад – и прочитал следующее предложение очень внимательно. Я сейчас не помню его точно, но это было что-то вроде: “Индивидуальный член социального общества часто получает информацию через визуальные, символические каналы”. Я долго с ним мучился, но все-таки перевел. Знаете что это означает? “Люди читают”. Затем я перешел к следующему предложению и понял, что его я тоже могу перевести. Потом же это превратилось в пустое занятие: “Иногда люди читают; иногда люди слушают
радио”, – и т.д. Но все это было написано так замысловато, что сначала я даже не понял, но, когда, наконец, расшифровал, оказалось, что это полная бессмыслица.

(Р.Фейнман, Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман ?, раздел "Электричество --- это огонь ?" ).

-- 23.05.2024, 09:51 --

Тем не менее, в своём тотальном отрицании философии, что это вообще полная, никому не нужная фигня, Вы, думаю, неправы. Но про это я напишу, пожалуй, в параллельной теме и попозже. А то ведь и математикой заниматься надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математика и философия математики
Сообщение23.05.2024, 11:14 


31/01/24
757
Mihaylo в сообщении #1640046 писал(а):
Нет необходимости


Вы всегда можете написать в Международную лабораторию логики, лингвистики и формальной философии и сообщить, что им нет необходимости привлекать философию для своей деятельности.

Mihaylo в сообщении #1640046 писал(а):
Статьи переписать, избавив от излишней зауми.


А про это уже все ответил Андрей Коняев и мне к его словам добавить нечего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математика и философия математики
Сообщение23.05.2024, 13:48 


22/10/20
1185
Mihaylo в сообщении #1640046 писал(а):
Это ж надо же как сложно о простом!
А точно ли оно простое?

Возможные миры используются для интерпретации модальных логик. Идея в том, что между возможными мирами можно ввести (неформальное!!) отношение $aRb$ "возможности" мира $a$ относительно мира $b$. Далее вводится такая интерпретация модальных операторов возможности и необходимости: $P$ возможно истинно в $a$, если $\exists b$, $bRa$: $P$ истинно в $b$; $P$ необходимо истинно в $a$, если $\forall b, bRa$ $P$ истинно в $b$.

Я особо подчеркну, что с точки зрения математики здесь написана фигня. Математик скажет: что это вообще за возможные миры, где их определение?; где определение отношения $R$?

Но если не быть таким напряженным и попробовать пофантазировать дальше, то можно заметить, что если мы потребуем от нашего отношения $R$ рефлексивность, то получим в точности интерпретацию модальной логики Т(см. таблицу), а если в дополнение к рефлексивности потребуем транзитивность, то получим уже систему S4. А если в дополнение к этим двум потребовать еще и симметричность (чтобы наше $R$ стало отношением эквивалентности), то получится система S5.

Наверное стоит еще раз сказать, что с точки зрения математики никакой математики пока нету, а есть просто неопределенный набор бессмысленных слов, каких-то невнятных метафор и аллегорий. Мы тут, если что, факторизуем вселенную возможных миров :D Это я на всякий случай говорю, а то вдруг у Вас возникло желание назвать это математикой, а не философией. А вот философия тут начинается довольно серьезная, потом что помимо собственно интерпретаций в терминах возможных миров, здесь открывается широкий простор для анализа онтологической природы этих возможных миров, но, к сожалению, я недостаточно хорошо знаю философию, чтобы все это аккуратно и корректно сформулировать.

Ну а дальше у меня к Вам вопрос: такие фантазии - это бессмысленное спекулирование-манипулирование или все же дадим таким рассуждениям право на жизнь?

(Рекомендую перед ответом заглянуть хотя бы в статью в википедии Семантика Крипке)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 52 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group