Вы сейчас поставили философский вопрос и провели философские рассуждения
Здесь было бы уместно, имхо, привести отрывок из «Осмотр на месте» про философские воззрения снёсшей яйцо курицы. Но не буду — лень и длинно. А вы могли бы привести парочку философов, рассматривающих вопрос, поднятый предыдущим оратором?
Знаю одного, но я немногих читал.
А.Пуанкаре писал(а):
Для чистого геометра эта способность необходима. Доказывают при помощи логики, изобретают при помощи интуиции. Хорошо уметь критиковать, еще лучше — уметь творить. Вы способны распознать, правильна ли данная комбинация, и это недурно, раз {465} вы не обладаете искусством сделать выбор между всеми возможными комбинациями. Логика нам говорит, что на таком-то пути мы можем быть уверены, что не встретим препятствий; она не говорит, какой путь ведет к цели. Для этого необходимо видеть цель издалека, и интуиция есть та способность, которая этому нас учит. Без нее геометр походил бы на писателя, который был бы прикован к грамматике, но не имел бы идей. Но как может развиться такая способность, раз ее преследуют и изгоняют, лишь только она обнаруживается, раз приучают относиться к ней с недоверием еще раньше, чем убедились в пользе, которую она может принести.
Позвольте мне здесь мимоходом остановиться на важности письменных работ. Эти работы занимают, быть может, слишком мало места на экзаменах, например, в Политехнической школе. Мне говорят, что такие работы закрыли бы доступ хорошим ученикам, которые понимают пройденные курсы, хорошо их знают, но не способны сделать из них ни малейшего применения. Я сказал выше, что слово «понимать» имеет несколько значений: эти ученики «понимают» определения в первом из указанных мною значений этого слова; но мы видели, что такого понимания недостаточно ни для инженера, ни для геометра. Атак как здесь необходимо сделать выбор, то я предпочитаю выбрать тех, которые понимают вполне.
10. Но искусство правильно рассуждать разве не есть драгоценное качество, которое преподаватель математики должен прежде всего культивировать? Я этого не забываю. Об этом нужно позаботиться с самого начала. Я был бы в отчаянии, если бы увидел, что геометрия выродилась в какую-то тахеометрию1) нижайшего уровня, и нисколько не подписываюсь под крайними доктринами некоторых немецких обер-учителей. Но при изучении математики и именно тех отделов ее, где указанные выше неудобства не встречаются, бывает немало случаев, которые дают место для упражнения учеников в правильном рассуждении. У нас имеются длинные сцепления {466} теорем, в которых абсолютная логика сразу и как будто естественно заняла господствующее положение и которые, как образцы, вышедшие из рук первых геометров, достойны всякого удивления и подражания.
Именно в изложении основных принципов нужно избегать излишних тонкостей Здесь они и не привились бы и к тому же были бы бесполезны Нельзя все доказать и нельзя все определить Приходится всегда делать заимствование у интуиции. Неважно, сделаем ли мы это заимствование немного раньше или немного позже, будет ли оно немного больше или меньше, лишь бы мы, правильно пользуясь теми посылками, которые даны нам интуицией, научились правильно рассуждать.
11. Можно ли, однако, удовлетворить столь противоположным условиям? Возможно ли это в особенности тогда, когда приходится дать определение? Как найти такую краткую формулировку, которая одновременно удовлетворяла бы непреклонным правилам логики, нашему желанию понять то место, которое занимает новое понятие в совокупности знаний, нашей необходимости мыслить образами? Чаще всего такой формулировки найти нельзя, и вот почему недостаточно высказать определение: необходимо его подготовить и необходимо его оправдать.
Что я хочу этим сказать? Вы знаете, как часто говорят: всякое определение включает в себя аксиому, так как оно утверждает существование определенного объекта. Определение будет, следовательно, оправдано с точки зрения логической лишь тогда, когда будет доказано, что оно не находится в противоречии ни с терминами, ни с ранее допущенными истинами.
Но это не все. Определение теперь называют соглашением; но большинство умов возмутится, если вы захотите навязать это определение как соглашение произвольное. Они успокоятся только тогда, когда вы им дадите ответ на многочисленные вопросы, которые у них возникнут.
Чаще всего математические определения, как это показал Лиар, суть целые построения, составленные при помощи простейших понятий. Но почему эти элементы соединены именно данным образом, когда {467} возможна еще тысяча других способов соединения? Каприз ли это? А если нет, то почему данная комбинация имеет больше прав на существование, чем все прочие? Какой необходимости она отвечает? Как можно было предвидеть, что она сыграет важную роль в развитии науки, что она сократит наши суждения и наши вычисления? Существует ли в природе некоторый особый предмет, который является, так сказать, неясным и грубым прообразом такой комбинации?
Это не все. Если вы ответите на эти вопросы удовлетворительно, то мы увидим, что принятую комбинацию нужно окрестить каким-либо именем. Но выбор имени не является произвольным. Нужно объяснить, какими аналогиями руководились, избирая имя. Если же аналогичное имя присваивалось различным вещам, то нужно показать, что эти вещи отличаются между собой только материально, по форме же близки друг к другу, что их свойства подобны и, так сказать, параллельны.
Вот какой ценой можно удовлетворить всем притязаниям. Если формулировка достаточно правильна, чтобы удовлетворить логика, то ее оправдание удовлетворит интуитивиста. Но лучше поступить иначе: необходимо, чтобы оправдание во всех случаях, когда это возможно, предшествовало формулировке и подготовляло ее; изучение нескольких частных примеров лучше всего приводит к общей формулировке.
Еще другое обстоятельство: каждая часть формулированного определения имеет целью установить отличие определяемого объекта от класса других близких предметов. Определение будет понято лишь тогда, когда вы покажете не только определяемый предмет, но и те соседние предметы, от которых его надобно отличать; когда вы сделаете явственным это отличие и при этом прибавите: «вот для чего я внес в определение то-то и то-то».
Теперь нам нужно перейти от общих суждений К исследованию вопроса, каким образом все изложенные мною несколько абстрактные принципы могут быть приложены в арифметике, геометрии, анализе и механике.
-- 07.05.2024, 21:37 --Диванным замечанием между двумя рюмками чая.
Философия - это систематизированная и подробно разработанная система взглядов. Если бы я мог привести десять признаков плодотворного определения и обосновать каждый из них, это бы еще куда-нибудь годилось. И то не уверен, что подобный текст можно было бы назвать философским, а не, скажем, математиковедческим. Философия, как мне кажется, подразумевает большую общность вопросов, чем "какие математические определения интересны математикам".
Вы множите сущности без необходимости. Вот бывает говорят "гипотеза в порядке бреда". Значит непродуманная только что пришедшая на ум гипотеза. Хотя, обычно гипотеза это что-то более серьёзное. Также и у Вас получается мнение о философской проблеме без претензий на его проработанность.
, или в разном понимании слова "существует", или в разных частях реальности/разных реальностях и другие части реальности/реальности просто недоступны для нашего познания и какого-либо прямого или косвенного взаимодействия с нами, или что существуют другие виды бытия, принципиально невзаимодействующие и непостижимые нами и т.д., и т.п. до бесконечности. Продолжать можно вечно. Философия и метафилософия как абстрактные науки вообще тотально безначальны, всеохватны и бесконечны в своем разнообразии и позволяют придумать абсолютно все, что угодно (а еще больше мы не можем представить и допустить хотя бы в силу биологических ограничений развития нашей ЦНС и психики, ограничений языка и логики и пр.), однако, как я уже неоднократно писал на форуме, это не значит, что все эти бесчисленные варианты мы должны всерьез обсуждать, ибо в лучшем случае это просто интеллектуальная/языковая игра и не более того, а философия и метафилософия могут считаться науками только в некоторой своей части и с отдельными оговорками:
Остался шаг до признания того, что "неправильны" те определения, которые основаны на неконструктивной аксиоматике, т.е. позволяют утверждать существование объектов, построить которые (привести конкретный пример) невозможно, типа нелинейной аддитивной функции 
или способа разбиения шара на конечное количество кусков, из которых можно сложить два таких же шара.
"возможности" мира 
относительно мира 
. Далее вводится такая интерпретация модальных операторов возможности и необходимости: 
возможно истинно в 
, 
: 
? 
Это я на всякий случай говорю, а то вдруг у Вас возникло желание назвать это математикой, а не философией. А вот философия тут начинается довольно серьезная, потом что помимо собственно интерпретаций в терминах возможных миров, здесь открывается широкий простор для анализа онтологической природы этих возможных миров, но, к сожалению, я недостаточно хорошо знаю философию, чтобы все это аккуратно и корректно сформулировать.