Математика и философия математики

[EminentVictorians]

Хочу выделить побочную ветку обсуждения из темы Звание "царицы наук". Та тема и так сильно перегружена, поэтому лучше наверное переехать в новую. Тема о роли и пользе (или её отсутствии) философии в математике.

-- 07.05.2024, 11:32 --

Mihaylo в сообщении #1638325 писал(а):

EminentVictorians
А что там философствовать? Надо математику понимать. Поймите, что такое изоморфизм - вот и вся философия математики. Утрирую, но всё же.

Так вот чтобы математику лучше понимать, и нужна развитая философия математики. По крайней мере я так думаю.

[Psixonaut]

Теорема Гёделя совершенно философская.

[Утундрий]

Есть такое мнение, что наукой не стыдно называть то, что сохраняет свой смысл при удалении из рассмотрения светлого образа отца-основателя. Так что если нечто намертво завязано на харизматичную/самобытную/уникальную личность, то это секта, религия, философия и вообще что угодно, но не наука.

[Psixonaut]

Утундрий
Так искусство станет наукой.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1638338 писал(а):

EminentVictorians в сообщении #1638321 писал(а):

В чем причины эффективности математики, в каком смысле существуют математические объекты и т.д. - это все философские вопросы, а не математические

И с основаниями математики не связанные.

Это как посмотреть. Вы же не будете отрицать, что Гильберт развивал формализм не просто так, а в ответ на серьезный логико-философский кризис рубежа 19 и 20 веков?

[mihaild]

Psixonaut в сообщении #1638332 писал(а):

Теорема Гёделя совершенно философская

Теорема Гёделя философская только у тех, кто в ней разобраться не может. Она совершенно техническая - множество строк, порождаемых некоторыми правилами, удовлетворяет некоторым свойствам.

EminentVictorians в сообщении #1638339 писал(а):

Вы же не будете отрицать, что Гильберт развивал формализм не просто так, а в ответ на серьезный логико-философский кризис рубежа 19 и 20 веков?

Допустим, но мотивация развития математики не входит в математику. Хотя занимаются ей, конечно, тоже математики (философы пытаются, но получается как всегда).

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1638342 писал(а):

но мотивация развития математики не входит в математику.

Тоже не очевидно. У математики 17-18 веков одной из мотиваций была - навести строгость в бесконечно малых. И она самым прямым образом вошла в математику в виде современного внятного анализа на языке $\varepsilon - \delta$. Не будь её, так бы до сих пор и говорили бы про варианты и переменные количества. Разумеется, благодарить за это надо математиков, но ведь и философов тоже (хотя бы того же епископа Беркли, да и вообще всех, кто содержательным образом участвовал в том дискурсе, того же Ролля например).

Аналогичный пример с теорией множеств или теорий меры. Сначала мотивация (понять, что такое площадь / понять, можно ли трансфинитно накачивать какую-то совокупность), затем теория (меры / множеств).

[Psixonaut]

mihaild
Теория познания раздел философии. Теорема Гёделя даёт принципиальное ограничение возможности познания по определённым правилам.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1638344 писал(а):

И она самым прямым образом вошла в математику в виде современного внятного анализа на языке $\varepsilon - \delta$.

Строгость вошла, мотивация не вошла. Математика не замкнута относительно исторического развития :)

Psixonaut, Вы формулировку теоремы Гёделя знаете? Где там какое-то "познание"?

[Psixonaut]

mihaild
Знаю. Математики это слово не употребляют. Но по-вашему доказательство теорем является познанием или нет?

[EminentVictorians]

mihaild, не знаю как Вам (но подозреваю, что так же), лично мне очень нравится математическое понятие алгоритма. Даже не столько какое-то конкретное определение, сколько сам факт того, что разные на первый взгляд подходы (машины Тьюринга, Поста, алгорифмы Маркова, частично рекурсивные функции и т.д.) эквивалентны. Нам очень сильно повезло, что понятие алгоритма не размазывается на десяток неэквивалетных понятий, а кристаллизуется в одно с точностью до эквивалентности.

В рамках математики можно что угодно определять как угодно, и очень часто можно услышать фразу в духе "неправильных определений не бывает". Но, имхо, это слишком упрощенный взгляд на вещи: правильные и неправильные определения еще как бывают. Вот понятие алгоритма - правильное. Причем понятие - это даже не столько конкретное определение, сколько класс эквивалентности этих определений + теорема об их эквивалентности. Понятия не исчерпываются голыми математическими определениями, есть метауровень, на котором, помимо прочего, должно объясняться, почему одни определения правильные, а другие - нет. Уже как минимум для этого нужна философия математики.

[Anton_Peplov]

EminentVictorians в сообщении #1638367 писал(а):

рамках математики можно что угодно определять как угодно, и очень часто можно услышать фразу в духе "неправильных определений не бывает". Но, имхо, это слишком упрощенный взгляд на вещи: правильные и неправильные определения еще как бывают.

Предпочитаю говорить, что определения бывают не правильными и неправильными, а интересными/полезными/плодотворными и нет. Пример неинтересного/бесполезного/неплодотворного определения: назовем натуральное число кузявым, если сумма его цифр в позиционной записи и десятичной системе счисления не превышает 100. Заметим, множество кузявых чисел бесконечно и нетривиально распределено в натуральном ряду. О нем наверняка можно доказать множество неочевидных теорем. Вот только кого интересуют эти теоремы? Произвольно выбрали систему записи чисел, привязались к такой бессмысленной характеристике как сумма цифр, произвольно ее ограничили...

Как отличить плодотворное определение от неплодотворного? Есть несколько тривиальных соображений. Например, интересные множества не должны быть привязаны к способу записи чисел. Кроме того, лучше бы им быть замкнутыми хоть по каким-то операциям (но уже это не обязательно: множество простых чисел ни по каким очевидным операциям не замкнуто). Ну и так далее.

Боюсь, что если на эту тему и существуют менее тривиальные соображения, то они рассеяны по мемуарам, математическому фольклору, устным сообщениям учителей своим ученикам. Хорошо бы, конечно, выработать, как сейчас модно говорить, "руководящие принципы". Вот только сомневаюсь, что это решаемая задача. Еще больше сомневаюсь, что она уже решена. Зато совершенно уверен, что она НЕ решена ни в одной книге с тегом "философия математики".

[talash]

Anton_Peplov в сообщении #1638395 писал(а):

Как отличить плодотворное определение от неплодотворного?

Вы сейчас поставили философский вопрос и провели философские рассуждения. Но сами Вы не считаете это философией? А как это называется?

[iifat]

talash в сообщении #1638418 писал(а):

Вы сейчас поставили философский вопрос и провели философские рассуждения

Здесь было бы уместно, имхо, привести отрывок из «Осмотр на месте» про философские воззрения снёсшей яйцо курицы. Но не буду — лень и длинно. А вы могли бы привести парочку философов, рассматривающих вопрос, поднятый предыдущим оратором?

[Anton_Peplov]

talash в сообщении #1638418 писал(а):

Но сами Вы не считаете это философией? А как это называется?

Диванным замечанием между двумя рюмками чая.

Философия - это систематизированная и подробно разработанная система взглядов. Если бы я мог привести десять признаков плодотворного определения и обосновать каждый из них, это бы еще куда-нибудь годилось. И то не уверен, что подобный текст можно было бы назвать философским, а не, скажем, математиковедческим. Философия, как мне кажется, подразумевает большую общность вопросов, чем "какие математические определения интересны математикам".