mihaildУ меня тут возник вопрос по второму доказательству. Хотим доказать, что для любого
![$N$ $N$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/c/f9c4988898e7f532b9f826a75014ed3c82.png)
существует уникальная пара множеств
![$A_N, B_N$ $A_N, B_N$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/d/adde2d201e46a2ec3f5c6a5d629477e782.png)
, которая удовлетворяет перечисленным свойствам
![$a-f$ $a-f$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/d/00db61a32e3ece455293c3b035788e6e82.png)
. Естественно будем использовать индукцию.
Для
![$N = 0$ $N = 0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/4/6141bb866f13f0d7caf2436eb856f38382.png)
построим
![$A_0$ $A_0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/5/2e5cace905a61fe431f7b898becb0be182.png)
и
![$B_0$ $B_0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/9/459f89367ba3164f34669665690bc2ac82.png)
, как
![$\{0\}$ $\{0\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/9/7d91d603191db068c91b88364ae8b14882.png)
и
![$\mathbb N \backslash A_N $ $\mathbb N \backslash A_N $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/d/e1d8cf0d702abeaf5480de49363a808682.png)
.
Пункты
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
,
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
,
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
,
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
напрямую следуют из построения.
![$e$ $e$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cd34385ed61aca950a6b06d09fb50ac82.png)
следует из одной из акисиом Пеано, о том, что ни один successor не равен
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
,
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
- тривиально верно. Теперь нужно показать уникальность. Пусть существуют
![$A_0'$ $A_0'$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/f/b2f58857fcc746bbd90aff22c33a6c2e82.png)
и
![$B_0'$ $B_0'$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/7/f27a0aea2422938b8626c6c31c17d7d282.png)
, такие, что
![$A_0' \neq A_0$ $A_0' \neq A_0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/9/9b9e6de4822b0cced5bcaaf33c64cb6382.png)
и удовлетворяют перечисленным свойствам
![$a-f$ $a-f$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/d/00db61a32e3ece455293c3b035788e6e82.png)
. Это значит в нем есть какой-то элемент
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
, который не равен
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
. Из свойства
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
следует, что
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
принадлежит
![$B_0'$ $B_0'$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/7/f27a0aea2422938b8626c6c31c17d7d282.png)
.
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
- это икремент от
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
повторенный
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
раз, то есть
![$(((0++)++)..)++$ $(((0++)++)..)++$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/7/6d70c60569a2a93d1a506fb05afd6ce082.png)
, так как
![$0++ = 1$ $0++ = 1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/c/acc1101575eb84d0475cfb52908f4c8382.png)
принадлежит
![$B_0'$ $B_0'$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/7/f27a0aea2422938b8626c6c31c17d7d282.png)
, то по свойству
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
число
![$1++$ $1++$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/3/843df2ff4d7820c645b24508a9e30de582.png)
тоже принадлежит
![$B_0'$ $B_0'$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/7/f27a0aea2422938b8626c6c31c17d7d282.png)
. Применяя конечное количество раз
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
получим, что
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
тоже принадлежит
![$B_0'$ $B_0'$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/7/f27a0aea2422938b8626c6c31c17d7d282.png)
. Но тогда получается, что
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
входит в оба множества, что противоречит свойству
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
.
Это корректные рассуждения? Меня смущает момент с применением
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
какое-то количество раз. Просто в одной из моих предыдущих тем мне дали по рукам, когда я применял аксиому бесконечное количество раз. Теперь вот лишний раз хочу убедиться
![:mrgreen: :mrgreen:](./images/smilies/icon_mrgreen.gif)