Доказательство аналогично: индукцией по
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
доказываем существование единственной
![$a_n$ $a_n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/1/6512cbd0d448700a036bf3a691c37acc82.png)
. За счет единственности, в шаге индукции при построении
![$a_{n++}$ $a_{n++}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/3/ff3b84225716e0e28961c3b548f40f0682.png)
можно использовать конкретную
![$a_n$ $a_n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/1/6512cbd0d448700a036bf3a691c37acc82.png)
, и из неё строить
![$a_{n++}$ $a_{n++}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/3/ff3b84225716e0e28961c3b548f40f0682.png)
.
Я в общем так и делал, просто не очень понимаю при чем тут 3.5.12. Сбивает, что зачем-то автор ссылается на 3.5.12. Можно было просто сказать, что доказываем по индукции.
Мое доказательство следующее. Cначала по индукции докажем, что существует такая
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
. Для 0 значение этой функции определено, как
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
. По одной из аксиом Пеано не существует
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
такого, что
![$n++ = 0$ $n++ = 0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/5/3a5c68149c704eb23f15ff544e454d7982.png)
. Это значит, что ни одно
![$a(n++)$ $a(n++)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/6/47681ed15e14d1e7b7a58a5f0ec59d5682.png)
не переопределяет
![$a(0)$ $a(0)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/2/392872d9a17c50cb1592e40572dc592e82.png)
и значение определено однозначно. Теперь предположим, что для
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
значение
![$a(n)$ $a(n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/1/eb1e4d26da404d5c7d56055c19d365a082.png)
определено однозначно. Докажем для
![$n++$ $n++$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/7/bd7c62675516b3a6c54b03726b34cb2982.png)
.
![$a(n++) = f(n, a(n))$ $a(n++) = f(n, a(n))$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/6/436f7c5984395eac3dcd13e0d095048982.png)
. По предположению индукции
![$a(n)$ $a(n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/1/eb1e4d26da404d5c7d56055c19d365a082.png)
определено однозначно, значит f(n, a(n)) тоже определено однозначно. По одной из аксиом Пеано
![$n \neq m => n++ \neq m++$ $n \neq m => n++ \neq m++$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/0/0c0b71abf34c3414391a00425349248c82.png)
. То есть ни один
![$m++$ $m++$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/5/d651b02ad9124817b95ee021144c6b8a82.png)
не переопределяет значение
![$a(n++)$ $a(n++)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/6/47681ed15e14d1e7b7a58a5f0ec59d5682.png)
и оно определено однозначно. Следовательно заключаем, что для всех натуральных чисел
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
функция
![$a(n)$ $a(n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/1/eb1e4d26da404d5c7d56055c19d365a082.png)
определена однозначно.
Вот тут непонятно, разве из существования не следует ее единственность. Ну типо возьмем 2 функции
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$a'$ $a'$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/c/4fc63d27626433f23e36eca761bac52b82.png)
, где
![$a(0) = c$ $a(0) = c$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/1/ac14ac1f8f53329ba1abe9d5b80ed8a582.png)
и
![$a(n++) = f(n, a(n))$ $a(n++) = f(n, a(n))$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/6/436f7c5984395eac3dcd13e0d095048982.png)
и
![$a'(0) = c$ $a'(0) = c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/9/b1926016b7612bb30f31876fe4174e5a82.png)
и
![$a'(n++) = f(n, a'(n))$ $a'(n++) = f(n, a'(n))$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/e/f/befb3e959e31606ece518c085161eae082.png)
. Они же одинаковые с точностью до обозначения. Или этого мало?