В
этой задаче я подсмотрел приём, которым эта задача вскрывается (самый красивый приём, который я видел):
Нарисуем наш прямоугольник на системе координат
![$xOy$ $xOy$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/3/1235f34eeed26a18e33dafff9ac48da682.png)
так, чтобы его стороны были параллельны осям, а углы квадратиков
![$1\times 1$ $1\times 1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/8/b389d2f27360b3f4b0912983c08db15582.png)
имели целочисленные координаты. Рассмотрим интегралы:
![$$I_{2x}(\Omega)=\iint\limits_\Omega e^{\pi i x}\,dx\,dy$$ $$I_{2x}(\Omega)=\iint\limits_\Omega e^{\pi i x}\,dx\,dy$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/2/092258f7fa9fc946ecb33f8d8d87e38582.png)
![$$I_{3x}(\Omega)=\iint\limits_\Omega e^{\frac23\pi i x}\,dx\,dy$$ $$I_{3x}(\Omega)=\iint\limits_\Omega e^{\frac23\pi i x}\,dx\,dy$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/f/c0f8c6b6ca6b6be3f33d00574a51ba3082.png)
![$$I_{2y}(\Omega)=\iint\limits_\Omega e^{\pi i y}\,dx\,dy$$ $$I_{2y}(\Omega)=\iint\limits_\Omega e^{\pi i y}\,dx\,dy$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/3/7e3fae727408bb7a4a8c17ab3705b81182.png)
![$$I_{3y}(\Omega)=\iint\limits_\Omega e^{\frac23\pi i y}\,dx\,dy$$ $$I_{3y}(\Omega)=\iint\limits_\Omega e^{\frac23\pi i y}\,dx\,dy$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/4/da452b5f16d921dc86a6039ea045d29182.png)
В качестве областей интегрирования
![$\Omega$ $\Omega$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/3/9432d83304c1eb0dcb05f092d30a767f82.png)
будем рассматривать прямоугольники с целыми координатами углов. В частности, будем интегрировать по всему прямоугольнику
![$m\times n$ $m\times n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63b142315f480db0b3ff453d62cc3e7f82.png)
, а также по отдельным квадратам
![$2\times 2$ $2\times 2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/f/7afe6068b04bc231516c722c67aa7dc882.png)
и
![$3\times 3$ $3\times 3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/e/46e42d6ebfb1f8b50fe3a47153d01cd282.png)
, которыми он выложен.
Особенности выписанных интегралов таковы:
![$I_{2x}(\Omega)=0 \Leftrightarrow$ $I_{2x}(\Omega)=0 \Leftrightarrow$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/1/2a14185fbb5f897c7562e1ebcba6926582.png)
у прямоугольника
![$\Omega$ $\Omega$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/3/9432d83304c1eb0dcb05f092d30a767f82.png)
сторона
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
делится на 2;
![$I_{3x}(\Omega)=0 \Leftrightarrow$ $I_{3x}(\Omega)=0 \Leftrightarrow$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/7/6173b0c3d46fa921680744cb93f9020482.png)
у прямоугольника
![$\Omega$ $\Omega$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/3/9432d83304c1eb0dcb05f092d30a767f82.png)
сторона
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
делится на 3;
![$I_{2y}(\Omega)=0 \Leftrightarrow$ $I_{2y}(\Omega)=0 \Leftrightarrow$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/1/bd1a621bfa677be702c46d811a4df8ce82.png)
у прямоугольника
![$\Omega$ $\Omega$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/3/9432d83304c1eb0dcb05f092d30a767f82.png)
сторона
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
делится на 2;
![$I_{3y}(\Omega)=0 \Leftrightarrow$ $I_{3y}(\Omega)=0 \Leftrightarrow$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/c/7fc9e8004bac673e43d0e2fed7c30f5582.png)
у прямоугольника
![$\Omega$ $\Omega$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/3/9432d83304c1eb0dcb05f092d30a767f82.png)
сторона
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
делится на 3.
Следовательно, на любом квадрате
![$2\times 2$ $2\times 2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/f/7afe6068b04bc231516c722c67aa7dc882.png)
и на любом квадрате
![$3\times 3$ $3\times 3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/e/46e42d6ebfb1f8b50fe3a47153d01cd282.png)
выполняется:
![$I_{2x}(\Omega)\cdot I_{3y}(\Omega)=I_{3x}(\Omega)\cdot I_{2y}(\Omega)=0$ $I_{2x}(\Omega)\cdot I_{3y}(\Omega)=I_{3x}(\Omega)\cdot I_{2y}(\Omega)=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/1/6b1cc3e728a9bd3b02967de790250bbc82.png)
.
Поскольку наш прямоугольник
![$m \times n$ $m \times n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/5/205995f88b807b2f5268f7ef4053f04982.png)
выложен из таких квадратов, то и для него:
![$I_{2x}(m \times n)\cdot I_{3y}(m \times n)=I_{3x}(m \times n)\cdot I_{2y}(m \times n)=0$ $I_{2x}(m \times n)\cdot I_{3y}(m \times n)=I_{3x}(m \times n)\cdot I_{2y}(m \times n)=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/0/57019728b0f1403bac6385d1be61fffa82.png)
.
Следовательно, из пары интегралов
![$I_{2x}(m \times n)$ $I_{2x}(m \times n)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e1d657055402519c59458b11b0f36f382.png)
и
![$I_{3y}(m \times n)$ $I_{3y}(m \times n)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/b/a/8ba66ebd0508a350b0666c97f5e842a682.png)
хотя бы один равен нулю. Также из пары интегралов
![$I_{3x}(m \times n)$ $I_{3x}(m \times n)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/c/9fce488bdf768ab1d9c44099164c327f82.png)
и
![$I_{2y}(m \times n)$ $I_{2y}(m \times n)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/a/35a8387d35b9a863ef536b20e01ae6da82.png)
хотя бы один равен нулю.
Что в переводе с языка интегралов обратно (интегралы сделали своё дело и могут уходить) означает, что верны два утверждения:
1)
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
делится на 2 или
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
делится на 3;
2)
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
делится на 3 или
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
делится на 2.
По условию ни одно из чисел
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
,
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
не делится на 6. Значит, либо оба числа делятся на 2, либо оба делятся на 3.