Прямоугольник

[neo66]

Пусть некоторый прямоугольник разбит на непересекающиеся прямоугольники со сторонами, параллельными исходному. И пусть каждый из прямоугольников разбиения имеет хотя бы одну целую сторону.

Доказать, что тогда хотя бы одна сторона исходного прямоугольника целая.

[Юстас]

Проинтегрируйте по прямоугольнику функцию $f(x,y)=e^{2\pi i(x+y)}$ и посмотрите, что получится.

[Руст]

Оригинальное решение.

[neo66]

Именно такое решение мне известно. Вопрос, нет ли другого, может быть, менее оригинального?

[Azog]

А задача с олимпиады для школьников 9 класса?

[worm2]

Нет повода не понекропостить.
Авторское решение другой задачи на покрытие прямоугольника прямоугольниками подсказывает альтернативный способ и для этой.
Ниже все линии, включая стороны прямоугольников, подразумеваются параллельными сторонам исходного прямоугольника, начало координат произвольно.
Разделим плоскость на клетки $\frac12\times\frac12$ и присвоим каждой клетке электрический заряд $\pm 1$ в шахматном порядке.
Ключевое наблюдение: любой прямоугольник будет электрически нейтральным тогда и только тогда, когда хотя бы одна из его сторон целая.
По сути, тут мы заменили функцию $e^{2\pi i(x+y)}$ на более элементарную $(-1)^{\lfloor 2x\rfloor+\lfloor 2y\rfloor}$.

[worm2]

worm2 в сообщении #1640694 писал(а):

любой прямоугольник будет электрически нейтральным тогда и только тогда, когда хотя бы одна из его сторон целая

Увы и ах, так же красиво не получается. Любой отрезок можно сделать электрически нейтральным, подбирая начало координат. Соответственно, и любой прямоугольник, который суть декартово произведение отрезков, можно сделать таковым.
Можно, конечно, это довести до корректного решения. Например, потребовав, чтобы прямоугольник был электрически нейтральным при любом размещении начала координат. Или пойти от противного: пусть при каком-то начале координат большой прямоугольник НЕ нейтрален, тогда хотя бы один из составляющих прямоугольников не нейтрален, дальше просто.
Но вот та удивительная лёгкость и красота, которая была в комплексных функциях, портится. В вещественных функциях (к которым можно свести любую раскраску) если интеграл при каких-то двух разных началах координат принимает противоположные значения, то всегда найдётся такое начало координат, что интеграл обратится в ноль (непрерывность, бессердечная ты тварь!). А комплексная аналитическая функция запросто может принимать противоположные значения, вообще нигде в нуль не обращаясь.
Так что этот метод остаётся несокрушимым памятником комплексному анализу: казалось бы, задача вообще не предполагает каких-то там комплексных чисел, но когда они выходят на сцену, публика просто замирает от восхищения. Жалко, что школьникам это невозможно продемонстрировать.

[TOTAL]

worm2 в сообщении #1643842 писал(а):

Так что этот метод остаётся несокрушимым памятником комплексному анализу: казалось бы, задача вообще не предполагает каких-то там комплексных чисел, но когда они выходят на сцену, публика просто замирает от восхищения. Жалко, что школьникам это невозможно продемонстрировать.

Школьник может проинтегрировать $\sin(2\pi x)\sin(2\pi y)$, получив $(1-\cos(2\pi a))(1-\cos(2\pi b)) = 0$

[lel0lel]

Azog в сообщении #50880 писал(а):

А задача с олимпиады для школьников 9 класса?

Вот решение для 9 класса, геологическое. К этому времени про Снайфельдс уже все краем уха слышали)
Раскрасим все цело-горизонтальные прямоугольники в белый цвет, а цело-вертикальные в чёрный. Получим нечто напоминающее QR-код. В исходном прямоугольнике интересны пути с запада на восток по белым прямоугольным полосам и с севера на юг по чёрным. Если две белые прямоугольные полосы состыкуются по вертикальной границе, то путь по ним -- целый. Если прямоугольные полосы лежат вплотную одна над другой так, что их вертикальные границы совпадают (одна или обе), то горизонтальная проекция пути также целая (разность целых чисел -- целое). Плохие участки белого пути (они не обязательно целые) те, в которых один белый прямоугольник надлежит на другом, при этом вертикальные границы не совпадают; примеры таких участков есть Z- или T-тетрамино соответствующим образом повёрнутые. Чтобы избежать плохих участков, для всех подходящих (далее разъясняется каких) пар чёрных прямоугольников соединим чёрными линиями горизонтальные стороны, лежащие на одном уровне, при условии, что эта линия проходит лишь по белому фону (эти условия и определяют подходящие пары). Другими словами, перебросим горизонтальные чёрные дамбы через белую реку от основания одного чёрного прямоугольника до основания другого. В белой букве T, это приведёт к тому, что мы закроем неудобный для нас путь, отсекая шапку. Аналогично поступаем с черными полосами, там дамбы делаем белыми и вертикальными, отсекая плохие участки пути. Теперь, если не существует белого пути с запада на восток (если он есть, то горизонтальные стороны исходного прямоугольника целочисленные), то существует чёрный путь с севера на юг, у которого целочисленная вертикальная проекция.

[TOTAL]

lel0lel в сообщении #1643970 писал(а):

Azog в сообщении #50880 писал(а):

А задача с олимпиады для школьников 9 класса?

Вот решение для 9 класса, геологическое.

Вот решение для 5 класса, геометрическое.
С левого нижнего угла замостим большой прямоугольник в шахматном порядке черными и белыми квадратами $1/2$ на $1/2$.
На верхней и правой границе выступающие части отрежем. Очевидно, суммарная белая площадь равна суммарной черной площади. Это и решает задачу.