Следствие закона больших чисел

[artempalkin]

Пусть $x_1,x_2,...$ - случайные величины и $\overline{X}_n=\frac{x_1+...+x_n}n$. Кроме того, $P\{|\overline{X}_n-a|\geqslant \varepsilon\}\to0$ и $a>0$. Верно ли, что $P\{|\overline{X}_n^2-a^2|\geqslant \varepsilon\}\to0$?

Вроде бы верно, но доказывается непросто.

$P\{|\overline{X}_n^2-a^2|\geqslant \varepsilon\}=P\{|(\overline{X}_n-a)^2+2a \overline{X}_n-2a^2|\geqslant \varepsilon\}=$

$=P\{|(\overline{X}_n-a)^2+2a(\overline{X}_n-a)|\geqslant \varepsilon\}\leqslant P\{(\overline{X}_n-a)^2+2a|\overline{X}_n-a|\geqslant \varepsilon\}$

Далее, пусть, скажем $|\overline{X}_n-a|=p_n$, а $\varepsilon=\epsilon^2+2a\epsilon$. Тогда:

$P\{(\overline{X}_n-a)^2+2a|\overline{X}_n-a|\geqslant \varepsilon\}=P\{p_n^2+2ap_n\geqslant \epsilon^2+2a\epsilon\}=P\{p_n\geqslant \epsilon\}=$

$=P\{|\overline{X}_n-a|\geqslant \epsilon\}\to0$, чтд.

Вопрос, верно ли такое доказательство, и можно ли доказать попроще?

[mihaild]

Пусть $\overline{X}_n = Y_n$ (отдельные $x_i$ всё равно никак не используются), имеем

$$P(|Y_n^2 - a^2| \geq \varepsilon) = P(|Y_n - a|\cdot |Y_n + a| \geq \varepsilon) \leq $$

$$ P(|Y_n - a| \geq\frac{\varepsilon}{3a}) + P(|Y_n + a| \geq 3a) \leq$$

$$P(|Y_n - a| \geq \frac{\varepsilon}{3a}) + P(|Y_n - a| \geq a)$$

Собственно примерно то же, что у Вас, только вместо честного расписывания вероятности получить большую сумму складываем вероятности получить большие слагаемые.

[artempalkin]

mihaild
Да, спасибо большое!

Сама по себе эта задача интересна, но возникла она из следующей:

Пусть $\xi\sim N(\sqrt{\theta}, 1)$. Найти оценку $\theta$ методом максимального правдоподобия и проверить ее состоятельность.

Найти оценку несложно $\theta=Y_n^2$. Но вот чтобы проверить состоятельность, пришлось прибегнуть к нетривиальным действиям. Интересно, может быть, можно как-то попроще? какие-то теоремы привлечь?

[mihaild]

Непрерывная функция от состоятельной оценки - состоятельная оценка этой функции.