2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Следствие закона больших чисел
Сообщение10.05.2024, 22:30 


14/02/20
863
Пусть $x_1,x_2,...$ - случайные величины и $\overline{X}_n=\frac{x_1+...+x_n}n$. Кроме того, $P\{|\overline{X}_n-a|\geqslant \varepsilon\}\to0$ и $a>0$. Верно ли, что $P\{|\overline{X}_n^2-a^2|\geqslant \varepsilon\}\to0$?

Вроде бы верно, но доказывается непросто.

$P\{|\overline{X}_n^2-a^2|\geqslant \varepsilon\}=P\{|(\overline{X}_n-a)^2+2a \overline{X}_n-2a^2|\geqslant \varepsilon\}=$

$=P\{|(\overline{X}_n-a)^2+2a(\overline{X}_n-a)|\geqslant \varepsilon\}\leqslant P\{(\overline{X}_n-a)^2+2a|\overline{X}_n-a|\geqslant \varepsilon\}$

Далее, пусть, скажем $|\overline{X}_n-a|=p_n$, а $\varepsilon=\epsilon^2+2a\epsilon$. Тогда:

$P\{(\overline{X}_n-a)^2+2a|\overline{X}_n-a|\geqslant \varepsilon\}=P\{p_n^2+2ap_n\geqslant \epsilon^2+2a\epsilon\}=P\{p_n\geqslant \epsilon\}=$

$=P\{|\overline{X}_n-a|\geqslant \epsilon\}\to0$, чтд.

Вопрос, верно ли такое доказательство, и можно ли доказать попроще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Следствие закона больших чисел
Сообщение10.05.2024, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9151
Цюрих
Пусть $\overline{X}_n = Y_n$ (отдельные $x_i$ всё равно никак не используются), имеем $$P(|Y_n^2 - a^2| \geq \varepsilon) = P(|Y_n - a|\cdot |Y_n + a| \geq \varepsilon) \leq $$ $$ P(|Y_n - a| \geq\frac{\varepsilon}{3a}) + P(|Y_n + a| \geq 3a) \leq$$ $$P(|Y_n - a| \geq \frac{\varepsilon}{3a}) + P(|Y_n - a| \geq a)$$

Собственно примерно то же, что у Вас, только вместо честного расписывания вероятности получить большую сумму складываем вероятности получить большие слагаемые.

 Профиль  
                  
 
 Re: Следствие закона больших чисел
Сообщение11.05.2024, 09:56 


14/02/20
863
mihaild
Да, спасибо большое!

Сама по себе эта задача интересна, но возникла она из следующей:

Пусть $\xi\sim N(\sqrt{\theta}, 1)$. Найти оценку $\theta$ методом максимального правдоподобия и проверить ее состоятельность.

Найти оценку несложно $\theta=Y_n^2$. Но вот чтобы проверить состоятельность, пришлось прибегнуть к нетривиальным действиям. Интересно, может быть, можно как-то попроще? какие-то теоремы привлечь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Следствие закона больших чисел
Сообщение11.05.2024, 16:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9151
Цюрих
Непрерывная функция от состоятельной оценки - состоятельная оценка этой функции.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group