We write down the law now only to impress the reader

[reterty]

В связи с проясненной ситуацией по поводу вопроса топикстартера, у меня возник вопрос к уважаемому svv и другим участникам форума: в статье https://arxiv.org/pdf/1003.4215 в параграфе "III. FIELD RETARDATION EFFECT" использовано некорректное выражение (10) для напряженности электрического поля прямолинейно движущегося произвольным образом точечного заряда? По-моему эта формула справедлива лишь для равномерного движения....

[svv]

Да, чтобы получить такую формулу, нужно, чтобы движение было ещё и равномерным.

Более подробно. Общая формула (63.8) из ЛЛ2 упрощается, если векторы $\mathbf R, \mathbf v, \dot{\mathbf v}$ коллинеарны (в этой формуле все эти величины берутся в запаздывающий момент $t'$). В этом случае внутреннее векторное произведение во втором слагаемом обращается в нуль, и всё второе слагаемое, содержащее ускорение, исчезает. Но обращение в нуль члена с ускорением ещё не означает равномерного движения и не позволяет провести все упрощения, возможные в случае равномерного движения. Как следствие, получить формулу (10) только исходя из одномерности не удастся.

В случае же равномерного движения возможны дальнейшие упрощения. (10) — аналог формулы (38.6) ЛЛ2, описывающей поле равномерно движущегося заряда. Важной особенностью (38.6) является то, что в ней радиус-вектор берётся не в запаздывающий момент $t'$, как в (63.8), а в момент наблюдения $t$. Как это возможно, если скорость распространения взаимодействий конечна — разве поле в точке наблюдения знает, где находится создавший его заряд сейчас? Благодаря тому, что движение заряда равномерно и прямолинейно. Всё предсказуемо, и положения заряда в моменты $t'$ и $t$ легко выражаются друг через друга.

[reterty]

https://arxiv.org/pdf/0810.4246

[svv]

reterty
По-видимому, автор работы основным результатом считает вывод формулы (19) (как результат, так и метод), судя по замечаниям:

Цитата:

Thus we obtain the final expression for $F^{ij}$:
...
Equation (19) completely solves the problem.

(19) — выражение для тензора электромагнитного поля, создаваемого произвольно движущимся зарядом, в четырёхмерной тензорной нотации. Как отмечает автор, оно часто встречается в литературе. Например, в книге Паули «Теория относительности» формула (244) на стр.129 — правда, без вывода. (У ЛЛ2 почему-то этой фундаментальной формулы нет.)

Выражение (19) сравнительно легко получается дифференцированием потенциалов Льенара-Вихерта. Небольшая сложность состоит лишь в том, что 4-точка $Q$ на мировой линии заряда, параметры движения в которой влияют на поле в 4-точке наблюдения $P$, зависит от этой $P$ — и это должно быть учтено при дифференцировании. Вывод может быть проведен в инвариантной записи и не требует перехода в мгновенно сопутствующую заряду ИСО и использования трёхмерных величин (как поступал автор работы). Если захотите, я приведу здесь своё вычисление, только с учётом загруженности по работе попрошу подождать несколько дней. Это значительно проще вывода или проверки формулы Хевисайда-Фейнмана.

[lazarius]

svv в сообщении #1640856 писал(а):

Хевисайда-Фейнмана.

Я заметил что вывода формулы Хевисайда-Фейнмана нет. Но в отличие от первой ссылки, предложенной уважаемым reterty, здесь про поле произвольно движущегося заряда. :)

Я почитал первые две части и даже почерпнул кое-что новое - 4-векторы $n^i, E^i, B^i$. Но вот третью часть (про поля в rest frame of the charge) никакого желания читать нет. :(

А вывод тензора поля дифференцированием 4-потенциала Лиенара-Вихерта, причем в более симпатичном виде и всего на полутора страницах, есть в книжке которую сейчас изучаю:

https://books.google.com/books?id=FrgVDAAAQBAJ&pg=PA410

Google мне показывает на ноутбуке но отказывает на десктопе. Если вам отказал - попробуйте с другого компьютера. В крайнем случае могу и screenshot сделать.

[svv]

Скачал книгу на LibGen, нашёл вывод в Appendix D. Да, это тот же подход, который использовал бы и я — просто продифференцировать $u^i$ и $R^i$ с учётом нюанса, о котором я сказал.

Книга на вид неплохая, но её портит приверженность автора системе СИ с её бесконечными $1/(4\pi\varepsilon_0)$, которые ничего не добавляют к физике явлений, а лишь мешают оценить простоту фундаментальных законов.