We write down the law now only to impress the reader

[reterty]

В связи с проясненной ситуацией по поводу вопроса топикстартера, у меня возник вопрос к уважаемому svv и другим участникам форума: в статье https://arxiv.org/pdf/1003.4215 в параграфе "III. FIELD RETARDATION EFFECT" использовано некорректное выражение (10) для напряженности электрического поля прямолинейно движущегося произвольным образом точечного заряда? По-моему эта формула справедлива лишь для равномерного движения....

[svv]

Да, чтобы получить такую формулу, нужно, чтобы движение было ещё и равномерным.

Более подробно. Общая формула (63.8) из ЛЛ2 упрощается, если векторы $\mathbf R, \mathbf v, \dot{\mathbf v}$ коллинеарны (в этой формуле все эти величины берутся в запаздывающий момент $t'$). В этом случае внутреннее векторное произведение во втором слагаемом обращается в нуль, и всё второе слагаемое, содержащее ускорение, исчезает. Но обращение в нуль члена с ускорением ещё не означает равномерного движения и не позволяет провести все упрощения, возможные в случае равномерного движения. Как следствие, получить формулу (10) только исходя из одномерности не удастся.

В случае же равномерного движения возможны дальнейшие упрощения. (10) — аналог формулы (38.6) ЛЛ2, описывающей поле равномерно движущегося заряда. Важной особенностью (38.6) является то, что в ней радиус-вектор берётся не в запаздывающий момент $t'$, как в (63.8), а в момент наблюдения $t$. Как это возможно, если скорость распространения взаимодействий конечна — разве поле в точке наблюдения знает, где находится создавший его заряд сейчас? Благодаря тому, что движение заряда равномерно и прямолинейно. Всё предсказуемо, и положения заряда в моменты $t'$ и $t$ легко выражаются друг через друга.