Как доказать утверждение

[Cynic]

Здравствуйте. Не подскажите как доказать, что $CA=I_{n}$, только если $Ax=0$ имеет только тривиальное решение $x=0$. Где $C$ и $A$ - некоторые матрицы, $I_{n}$ - единичная матрица, $x$ вектор из $R^n$.

[mihaild]

Пусть $Ax = 0$ имеет нетривиальное решение. Докажите, что тогда $CAy \neq I_n y$ разрешимо (относительно $y$).

[Евгений Машеров]

Умножить справа $CA=I_n$ на x, где x - нетривиальное решение?

[Cynic]

Цитата:

Умножить справа $CA=I_n$ на x, где x - нетривиальное решение?

Да, так явно будет проще, только где x - тривиальное решение.

[svv]

Вы, наверное, чего-то не поняли. mihaild и Евгений Машеров говорят об одном и том же разными словами. Оба имеют в виду, что если $x$ — НЕтривиальное решение $Ax=0$, то, домножив $CA=I$ справа на $x$, придём к противоречию. Слева будет нулевой вектор, справа ненулевой.

[Cynic]

svv в сообщении #1638229 писал(а):

Вы, наверное, чего-то не поняли. mihaild и Евгений Машеров говорят об одном и том же разными словами. Оба имеют в виду, что если $x$ — НЕтривиальное решение $Ax=0$, то, домножив $CA=I$ справа на $x$, придём к противоречию. Слева будет нулевой вектор, справа ненулевой.

Да, согласен!

[Евгений Машеров]

Cynic в сообщении #1638227 писал(а):

Да, так явно будет проще, только где x - тривиальное решение.

Нет, с тривиальным решением мы получим совершенно верное и совершенно бесполезное равенство $0=0$, а вот с нетривиальным приходим к противоречию.

[Cynic]

Евгений Машеров в сообщении #1638242 писал(а):

Cynic в сообщении #1638227 писал(а):

Да, так явно будет проще, только где x - тривиальное решение.

Нет, с тривиальным решением мы получим совершенно верное и совершенно бесполезное равенство $0=0$, а вот с нетривиальным приходим к противоречию.

Да но, из доказательства с нетривиальным решением мы просто докажем, что если $x \neq 0$, то и $CA \neq I_{n}$, но не что если $x = 0$, то $CA = I_{n}$.

[svv]

Cynic, Вы имеете в виду, что по заданию надо доказать ещё что-то?
Пожалуйста, добавьте кванторы ("существует", "всякий"), чтобы уточнить утверждение, которое надо доказать:

1) Для любой матрицы $A$,
если любое решение $x$ уравнения $Ax=0$ тривиально,
то для любой матрицы $C$ (согласованного с $A$ размера) справедливо $CA=I$.

2) Для любой матрицы $A$,
если любое решение $x$ уравнения $Ax=0$ тривиально,
то существует матрица $C$ такая, что $CA=I$.

Очевидно, это разные утверждения. Верно ли первое? Верно ли второе?

[Cynic]

svv в сообщении #1638277 писал(а):

Cynic, Вы имеете в виду, что по заданию надо доказать ещё что-то?
Пожалуйста, добавьте кванторы ("существует", "всякий"), чтобы уточнить утверждение, которое надо доказать:

1) Для любой матрицы $A$,
если любое решение $x$ уравнения $Ax=0$ тривиально,
то для любой матрицы $C$ (согласованного размера) справедливо $CA=I$.

2) Для любой матрицы $A$,
если любое решение $x$ уравнения $Ax=0$ тривиально,
то существует матрица $C$ такая, что $CA=I$.

Очевидно, это разные утверждения. Верно ли первое? Верно ли второе?

Скопирую задание из первоисточника:

Цитата:

Suppose $CA = I_{n}$ (the $n \times n$ identity matrix). Show that the equation $Ax = 0$ has only the trivial solution.

[svv]

Ну, тогда доказано всё, что требовалось.