2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Как доказать утверждение
Сообщение06.05.2024, 14:59 
Аватара пользователя
Здравствуйте. Не подскажите как доказать, что $CA=I_{n}$, только если $Ax=0$ имеет только тривиальное решение $x=0$. Где $C$ и $A$ - некоторые матрицы, $I_{n}$ - единичная матрица, $x$ вектор из $R^n$.

 
 
 
 Re: Как доказать утверждение
Сообщение06.05.2024, 15:13 
Аватара пользователя
Пусть $Ax = 0$ имеет нетривиальное решение. Докажите, что тогда $CAy \neq I_n y$ разрешимо (относительно $y$).

 
 
 
 Re: Как доказать утверждение
Сообщение06.05.2024, 16:08 
Аватара пользователя
Умножить справа $CA=I_n$ на x, где x - нетривиальное решение?

 
 
 
 Re: Как доказать утверждение
Сообщение06.05.2024, 17:26 
Аватара пользователя
Цитата:
Умножить справа $CA=I_n$ на x, где x - нетривиальное решение?

Да, так явно будет проще, только где x - тривиальное решение.

 
 
 
 Re: Как доказать утверждение
Сообщение06.05.2024, 17:33 
Аватара пользователя
Вы, наверное, чего-то не поняли. mihaild и Евгений Машеров говорят об одном и том же разными словами. Оба имеют в виду, что если $x$ — НЕтривиальное решение $Ax=0$, то, домножив $CA=I$ справа на $x$, придём к противоречию. Слева будет нулевой вектор, справа ненулевой.

 
 
 
 Re: Как доказать утверждение
Сообщение06.05.2024, 17:58 
Аватара пользователя
svv в сообщении #1638229 писал(а):
Вы, наверное, чего-то не поняли. mihaild и Евгений Машеров говорят об одном и том же разными словами. Оба имеют в виду, что если $x$ — НЕтривиальное решение $Ax=0$, то, домножив $CA=I$ справа на $x$, придём к противоречию. Слева будет нулевой вектор, справа ненулевой.

Да, согласен!

 
 
 
 Re: Как доказать утверждение
Сообщение06.05.2024, 18:53 
Аватара пользователя
Cynic в сообщении #1638227 писал(а):
Да, так явно будет проще, только где x - тривиальное решение.


Нет, с тривиальным решением мы получим совершенно верное и совершенно бесполезное равенство $0=0$, а вот с нетривиальным приходим к противоречию.

 
 
 
 Re: Как доказать утверждение
Сообщение06.05.2024, 19:03 
Аватара пользователя
Евгений Машеров в сообщении #1638242 писал(а):
Cynic в сообщении #1638227 писал(а):
Да, так явно будет проще, только где x - тривиальное решение.


Нет, с тривиальным решением мы получим совершенно верное и совершенно бесполезное равенство $0=0$, а вот с нетривиальным приходим к противоречию.

Да но, из доказательства с нетривиальным решением мы просто докажем, что если $x \neq 0$, то и $CA \neq I_{n}$, но не что если $x = 0$, то $CA = I_{n}$.

 
 
 
 Re: Как доказать утверждение
Сообщение06.05.2024, 21:15 
Аватара пользователя
Cynic, Вы имеете в виду, что по заданию надо доказать ещё что-то?
Пожалуйста, добавьте кванторы ("существует", "всякий"), чтобы уточнить утверждение, которое надо доказать:

1) Для любой матрицы $A$,
если любое решение $x$ уравнения $Ax=0$ тривиально,
то для любой матрицы $C$ (согласованного с $A$ размера) справедливо $CA=I$.

2) Для любой матрицы $A$,
если любое решение $x$ уравнения $Ax=0$ тривиально,
то существует матрица $C$ такая, что $CA=I$.

Очевидно, это разные утверждения. Верно ли первое? Верно ли второе?

 
 
 
 Re: Как доказать утверждение
Сообщение06.05.2024, 21:39 
Аватара пользователя
svv в сообщении #1638277 писал(а):
Cynic, Вы имеете в виду, что по заданию надо доказать ещё что-то?
Пожалуйста, добавьте кванторы ("существует", "всякий"), чтобы уточнить утверждение, которое надо доказать:

1) Для любой матрицы $A$,
если любое решение $x$ уравнения $Ax=0$ тривиально,
то для любой матрицы $C$ (согласованного размера) справедливо $CA=I$.

2) Для любой матрицы $A$,
если любое решение $x$ уравнения $Ax=0$ тривиально,
то существует матрица $C$ такая, что $CA=I$.

Очевидно, это разные утверждения. Верно ли первое? Верно ли второе?


Скопирую задание из первоисточника:
Цитата:
Suppose $CA = I_{n}$ (the $n \times n$ identity matrix). Show that the equation $Ax = 0$ has only the trivial solution.

 
 
 
 Re: Как доказать утверждение
Сообщение06.05.2024, 21:41 
Аватара пользователя
Ну, тогда доказано всё, что требовалось. :-)

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group