2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Множество с мерой равной половине любого отрезка
Сообщение29.04.2024, 16:14 


26/06/15
74
Добрый день! Очень долго вожусь с такой задачкой: Существует ли на прямой измеримое по Лебегу множество $X$, такое, что любого отрезка $\lambda (X\cap [a,b]) = \frac{b-a}{2}$. Полагаю, что ответ отрицательный, но как прийти к противоречию - ума не приложу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество с мерой равной половине любого отрезка
Сообщение29.04.2024, 17:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Теорема о точках плотности (хотя может быть и как-то проще можно, раз плотность везде одинаковая, но сходу не вижу, как)

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество с мерой равной половине любого отрезка
Сообщение30.04.2024, 12:44 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Если бы такое множество существовало, то его характеристическая функция бы равнялась $\frac 1 2$ (измеримая неотрицательная функция восстанавливается по своим интегралам по отрезкам). А она должна быть равна 0 или 1 почти всюду, противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество с мерой равной половине любого отрезка
Сообщение30.04.2024, 15:52 
Заслуженный участник


12/08/10
1676
Самое близкое к определению:
Возьмем любой отрезок $[a;b]$
$\lambda (X\cap [a,b]) = \frac{b-a}{2}$ , а значит по определению меры Лебега есть набор интервалов ${L_i=(a_i,b_i)}$ меры не больше $ \frac{b-a}{2}+\varepsilon$, накрывающий $(X\cap [a,b])$. На одном из $(a_i,b_i)$ условие нарушается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество с мерой равной половине любого отрезка
Сообщение01.05.2024, 17:37 


26/06/15
74
dgwuqtj
Не понял про характеристическую функцию. Имеется в виду интеграл от неё?

Null
Имеется в виду, что меру Лебега на прямой можно задать как $\lambda(A) = \inf \{ \lambda(U): A \subset U, U \ открыто\}$ ? А поскольку открытые множества на прямой это не более чем счётные объединения непересекающихся интервалов, то можем найти такой накрывающий набор, что сумма их мер будет $\frac{b-a}{2} + \epsilon$, для любого эпсилон.
Тут вроде всё ясно. Я могу продолжить, но мне кажется, что это чушь, но и ошибку не могу найти=_=. Поскольку мы знаем меру для произвольного отрезка, значит она такая же и для соответствующего промежутка тк это удаление 1 или 2 точек, что имеют меру нуль.
Для удобства возьмём отрезок $[0, 4]$. Тогда $\lambda(L)=\lambda(\cup L_i) = \sum\lambda(L_i) =2 + \epsilon$.
Тк все интервалы не пересекаются, то
$\lambda(X\cap (\cup L_i)) = \sum\lambda(X\cap L_i) = \frac{1}{2}\sum\lambda(L_i) =  1 + \frac{\epsilon}{2}$.
Но система $L$ покрывала все точки из $X$ в отрезке $[0,4]$, значит и $\lambda(X\cap [0,4]) = 1 + \frac{\epsilon}{2}$, противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество с мерой равной половине любого отрезка
Сообщение01.05.2024, 17:59 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
seraphimt в сообщении #1637723 писал(а):
dgwuqtj
Не понял про характеристическую функцию. Имеется в виду интеграл от неё?

Имеется в виду, что интеграл от неё по любому отрезку равен половине длины отрезка. Поэтому функция постоянна почти всюду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество с мерой равной половине любого отрезка
Сообщение01.05.2024, 18:15 
Заслуженный участник


12/08/10
1676
seraphimt в сообщении #1637723 писал(а):
то можем найти такой накрывающий набор, что сумма их мер будет $\frac{b-a}{2} + \epsilon$
будет меньше или равна $\frac{b-a}{2} + \varepsilon$
seraphimt в сообщении #1637723 писал(а):
значит и $\lambda(X\cap [0,4]) = 1 + \frac{\epsilon}{2}$
значит и $\lambda(X\cap [0,4]) \le 1 + \frac{\varepsilon}{2}$ это подмножество, а она $2$ по условию.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group