Множество с мерой равной половине любого отрезка

[seraphimt]

Добрый день! Очень долго вожусь с такой задачкой: Существует ли на прямой измеримое по Лебегу множество $X$, такое, что любого отрезка $\lambda (X\cap [a,b]) = \frac{b-a}{2}$. Полагаю, что ответ отрицательный, но как прийти к противоречию - ума не приложу.

[mihaild]

Теорема о точках плотности (хотя может быть и как-то проще можно, раз плотность везде одинаковая, но сходу не вижу, как)

[dgwuqtj]

Если бы такое множество существовало, то его характеристическая функция бы равнялась $\frac 1 2$ (измеримая неотрицательная функция восстанавливается по своим интегралам по отрезкам). А она должна быть равна 0 или 1 почти всюду, противоречие.

[Null]

Самое близкое к определению:
Возьмем любой отрезок $[a;b]$
$\lambda (X\cap [a,b]) = \frac{b-a}{2}$ , а значит по определению меры Лебега есть набор интервалов ${L_i=(a_i,b_i)}$ меры не больше $ \frac{b-a}{2}+\varepsilon$, накрывающий $(X\cap [a,b])$. На одном из $(a_i,b_i)$ условие нарушается.

[seraphimt]

dgwuqtj
Не понял про характеристическую функцию. Имеется в виду интеграл от неё?

Null
Имеется в виду, что меру Лебега на прямой можно задать как $\lambda(A) = \inf \{ \lambda(U): A \subset U, U \ открыто\}$ ? А поскольку открытые множества на прямой это не более чем счётные объединения непересекающихся интервалов, то можем найти такой накрывающий набор, что сумма их мер будет $\frac{b-a}{2} + \epsilon$, для любого эпсилон.
Тут вроде всё ясно. Я могу продолжить, но мне кажется, что это чушь, но и ошибку не могу найти=_=. Поскольку мы знаем меру для произвольного отрезка, значит она такая же и для соответствующего промежутка тк это удаление 1 или 2 точек, что имеют меру нуль.
Для удобства возьмём отрезок $[0, 4]$. Тогда $\lambda(L)=\lambda(\cup L_i) = \sum\lambda(L_i) =2 + \epsilon$.
Тк все интервалы не пересекаются, то
$\lambda(X\cap (\cup L_i)) = \sum\lambda(X\cap L_i) = \frac{1}{2}\sum\lambda(L_i) = 1 + \frac{\epsilon}{2}$.
Но система $L$ покрывала все точки из $X$ в отрезке $[0,4]$, значит и $\lambda(X\cap [0,4]) = 1 + \frac{\epsilon}{2}$, противоречие.

[dgwuqtj]

seraphimt в сообщении #1637723 писал(а):

dgwuqtj
Не понял про характеристическую функцию. Имеется в виду интеграл от неё?

Имеется в виду, что интеграл от неё по любому отрезку равен половине длины отрезка. Поэтому функция постоянна почти всюду.

[Null]

seraphimt в сообщении #1637723 писал(а):

то можем найти такой накрывающий набор, что сумма их мер будет $\frac{b-a}{2} + \epsilon$

будет меньше или равна $\frac{b-a}{2} + \varepsilon$

seraphimt в сообщении #1637723 писал(а):

значит и $\lambda(X\cap [0,4]) = 1 + \frac{\epsilon}{2}$

значит и $\lambda(X\cap [0,4]) \le 1 + \frac{\varepsilon}{2}$ это подмножество, а она $2$ по условию.