Условие задачи звучит так.
Существует ли ориентируемое многообразие с фундаментальной группой
, на котором свободно действует группа
, причём её образующая меняет ориентацию?
Что я смог на текущий момент сделать.
Если на многообразии есть свободное действие группы, то фактор получает структуру многообразия. Если действует
, и её образующая меняет ориентацию, то фактор будет неориентируемым многообразием, при этом исходное будет его двулистным накрытием.
Отсюда, вспоминая, как взаимодействует фундаментальная группа с накрытиями, можно сделать вывод, что нам нужно неориентируемое многообразие с фундаментальной группой
либо полупрямое произведение тех же групп, которое является группой перестановок
. Причём, если мы такое многообразие найдём, то его двулистное накрытие (которое всегда существует на неориентируемом многообразии) будет как раз обладать фундаментальной группой
, и мы получим требуемое.
Вопрос - как можно попытаться построить такое многообразие? То есть, нам нужно неориентируемое, с фундаментальное группой либо прямое либо полупрямое произведения
на
. Может быть, его вообще не существует? Насколько я помню общий курс, для любой группы с конечным копредставлением существует 4-мерное многообразие, фундаментальная группа которого является этой группой, то есть мы можем построить 4-мерное многообразие, с
равной
или с
, но совершенно не факт, что оно будет неориентируемым. Как можно попытаться отконтролировать последнее свойство?
Кстати, если такое 4-МО построено, то в его фундаментальной группе есть нормальная подгруппа
, а значит её соответствует регулярное накрытие с числом листов, равным индексу этой подгруппы, то есть, двулистное. Это накрытие будет иметь фундаментальной группой
, но действие
, хотя и будет свободным, не факт, что будет менять ориентацию.