Задача по топологии

[zcorvid]

Условие задачи звучит так.

Существует ли ориентируемое многообразие с фундаментальной группой $\mathbb{Z}/3$, на котором свободно действует группа $\mathbb{Z}/2$, причём её образующая меняет ориентацию?

Что я смог на текущий момент сделать.

Если на многообразии есть свободное действие группы, то фактор получает структуру многообразия. Если действует $\mathbb{Z}/2$, и её образующая меняет ориентацию, то фактор будет неориентируемым многообразием, при этом исходное будет его двулистным накрытием.

Отсюда, вспоминая, как взаимодействует фундаментальная группа с накрытиями, можно сделать вывод, что нам нужно неориентируемое многообразие с фундаментальной группой $\mathbb{Z}/3 \times \mathbb{Z}/2$ либо полупрямое произведение тех же групп, которое является группой перестановок $S_3$. Причём, если мы такое многообразие найдём, то его двулистное накрытие (которое всегда существует на неориентируемом многообразии) будет как раз обладать фундаментальной группой $\mathbb{Z}/3$, и мы получим требуемое.

Вопрос - как можно попытаться построить такое многообразие? То есть, нам нужно неориентируемое, с фундаментальное группой либо прямое либо полупрямое произведения $\mathbb{Z}/2$ на $\mathbb{Z}/3$. Может быть, его вообще не существует? Насколько я помню общий курс, для любой группы с конечным копредставлением существует 4-мерное многообразие, фундаментальная группа которого является этой группой, то есть мы можем построить 4-мерное многообразие, с $\pi_1$ равной $\mathbb{Z}/6$ или с $S_3$, но совершенно не факт, что оно будет неориентируемым. Как можно попытаться отконтролировать последнее свойство?

Кстати, если такое 4-МО построено, то в его фундаментальной группе есть нормальная подгруппа $\mathbb{Z}/3$, а значит её соответствует регулярное накрытие с числом листов, равным индексу этой подгруппы, то есть, двулистное. Это накрытие будет иметь фундаментальной группой $\mathbb{Z}/3$, но действие $\mathbb{Z}/2$, хотя и будет свободным, не факт, что будет менять ориентацию.

[Deathrose]

zcorvid в сообщении #1635924 писал(а):

Условие задачи звучит так.

Существует ли ориентируемое многообразие с фундаментальной группой $\mathbb{Z}/3$, на котором свободно действует группа $\mathbb{Z}/2$, причём её образующая меняет ориентацию?

Что я смог на текущий момент сделать.

Если на многообразии есть свободное действие группы, то фактор получает структуру многообразия. Если действует $\mathbb{Z}/2$, и её образующая меняет ориентацию, то фактор будет неориентируемым многообразием, при этом исходное будет его двулистным накрытием.

Отсюда, вспоминая, как взаимодействует фундаментальная группа с накрытиями, можно сделать вывод, что нам нужно неориентируемое многообразие с фундаментальной группой $\mathbb{Z}/3 \times \mathbb{Z}/2$ либо полупрямое произведение тех же групп, которое является группой перестановок $S_3$. Причём, если мы такое многообразие найдём, то его двулистное накрытие (которое всегда существует на неориентируемом многообразии) будет как раз обладать фундаментальной группой $\mathbb{Z}/3$, и мы получим требуемое.

Вопрос - как можно попытаться построить такое многообразие? То есть, нам нужно неориентируемое, с фундаментальное группой либо прямое либо полупрямое произведения $\mathbb{Z}/2$ на $\mathbb{Z}/3$. Может быть, его вообще не существует? Насколько я помню общий курс, для любой группы с конечным копредставлением существует 4-мерное многообразие, фундаментальная группа которого является этой группой, то есть мы можем построить 4-мерное многообразие, с $\pi_1$ равной $\mathbb{Z}/6$ или с $S_3$, но совершенно не факт, что оно будет неориентируемым. Как можно попытаться отконтролировать последнее свойство?

Кстати, если такое 4-МО построено, то в его фундаментальной группе есть нормальная подгруппа $\mathbb{Z}/3$, а значит её соответствует регулярное накрытие с числом листов, равным индексу этой подгруппы, то есть, двулистное. Это накрытие будет иметь фундаментальной группой $\mathbb{Z}/3$, но действие $\mathbb{Z}/2$, хотя и будет свободным, не факт, что будет менять ориентацию.

Подходит $S^2\times L(3,1)$, например. Или вам нужно обязательно четырехмерное?

[zcorvid]

Deathrose в сообщении #1635929 писал(а):

Подходит $S^2\times L(3,1)$, например. Или вам нужно обязательно четырехмерное?

Необязательно 4-мерное, можно любое

Но я пока не очень понял, разве при прямом произведении многообразий фундаментальная группа не перемножается ? У произведения сферы и линзы будет фундаментальная группа $\mathbb{Z}/3$, (таак, кажется я начинаю понимать), а нужным действием будет в сфере инволюция обычная, а в линзе тождественное отображение. В факторе будет произведение линзы и проективной плоскости, её фундаментальная группа будет $\mathbb{Z}/2$ прямое на $\mathbb{Z}/3$. И, кажется, мы построили требуемый пример. Я правильно рассуждаю?

[Deathrose]

zcorvid в сообщении #1635931 писал(а):

Deathrose в сообщении #1635929 писал(а):

Подходит $S^2\times L(3,1)$, например. Или вам нужно обязательно четырехмерное?

Необязательно 4-мерное, можно любое

Но я пока не очень понял, разве при прямом произведении многообразий фундаментальная группа не перемножается ? У произведения сферы и линзы будет фундаментальная группа $\mathbb{Z}/3$, (таак, кажется я начинаю понимать), а нужным действием будет в сфере инволюция обычная, а в линзе тождественное отображение. В факторе будет произведение линзы и проективной плоскости, её фундаментальная группа будет $\mathbb{Z}/2$ прямое на $\mathbb{Z}/3$. И, кажется, мы построили требуемый пример. Я правильно рассуждаю?

Да, произведение многообразий ориентируемо только если оба сомножителя ориентируемы.

[zcorvid]

Deathrose в сообщении #1635932 писал(а):

Да, произведение многообразий ориентируемо только если оба сомножителя ориентируемы.

Вот, линзовое ориентируемо, сфера тоже, значит произведение тоже ориентируемо, на сфере мы сменяем ориентацию, на линзе нет, значит в произведении ориентация также поменяется. Кажется, задача была совсем простая...