2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача по топологии
Сообщение10.04.2024, 11:43 
Аватара пользователя


28/05/15
74
Условие задачи звучит так.

Существует ли ориентируемое многообразие с фундаментальной группой $\mathbb{Z}/3$, на котором свободно действует группа $\mathbb{Z}/2$, причём её образующая меняет ориентацию?

Что я смог на текущий момент сделать.

Если на многообразии есть свободное действие группы, то фактор получает структуру многообразия. Если действует $\mathbb{Z}/2$, и её образующая меняет ориентацию, то фактор будет неориентируемым многообразием, при этом исходное будет его двулистным накрытием.

Отсюда, вспоминая, как взаимодействует фундаментальная группа с накрытиями, можно сделать вывод, что нам нужно неориентируемое многообразие с фундаментальной группой $\mathbb{Z}/3 \times \mathbb{Z}/2$ либо полупрямое произведение тех же групп, которое является группой перестановок $S_3$. Причём, если мы такое многообразие найдём, то его двулистное накрытие (которое всегда существует на неориентируемом многообразии) будет как раз обладать фундаментальной группой $\mathbb{Z}/3$, и мы получим требуемое.

Вопрос - как можно попытаться построить такое многообразие? То есть, нам нужно неориентируемое, с фундаментальное группой либо прямое либо полупрямое произведения $\mathbb{Z}/2$ на $\mathbb{Z}/3$. Может быть, его вообще не существует? Насколько я помню общий курс, для любой группы с конечным копредставлением существует 4-мерное многообразие, фундаментальная группа которого является этой группой, то есть мы можем построить 4-мерное многообразие, с $\pi_1$ равной $\mathbb{Z}/6$ или с $S_3$, но совершенно не факт, что оно будет неориентируемым. Как можно попытаться отконтролировать последнее свойство?

Кстати, если такое 4-МО построено, то в его фундаментальной группе есть нормальная подгруппа $\mathbb{Z}/3$, а значит её соответствует регулярное накрытие с числом листов, равным индексу этой подгруппы, то есть, двулистное. Это накрытие будет иметь фундаментальной группой $\mathbb{Z}/3$, но действие $\mathbb{Z}/2$, хотя и будет свободным, не факт, что будет менять ориентацию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по топологии
Сообщение10.04.2024, 11:59 


29/01/24
81
zcorvid в сообщении #1635924 писал(а):
Условие задачи звучит так.

Существует ли ориентируемое многообразие с фундаментальной группой $\mathbb{Z}/3$, на котором свободно действует группа $\mathbb{Z}/2$, причём её образующая меняет ориентацию?

Что я смог на текущий момент сделать.

Если на многообразии есть свободное действие группы, то фактор получает структуру многообразия. Если действует $\mathbb{Z}/2$, и её образующая меняет ориентацию, то фактор будет неориентируемым многообразием, при этом исходное будет его двулистным накрытием.

Отсюда, вспоминая, как взаимодействует фундаментальная группа с накрытиями, можно сделать вывод, что нам нужно неориентируемое многообразие с фундаментальной группой $\mathbb{Z}/3 \times \mathbb{Z}/2$ либо полупрямое произведение тех же групп, которое является группой перестановок $S_3$. Причём, если мы такое многообразие найдём, то его двулистное накрытие (которое всегда существует на неориентируемом многообразии) будет как раз обладать фундаментальной группой $\mathbb{Z}/3$, и мы получим требуемое.

Вопрос - как можно попытаться построить такое многообразие? То есть, нам нужно неориентируемое, с фундаментальное группой либо прямое либо полупрямое произведения $\mathbb{Z}/2$ на $\mathbb{Z}/3$. Может быть, его вообще не существует? Насколько я помню общий курс, для любой группы с конечным копредставлением существует 4-мерное многообразие, фундаментальная группа которого является этой группой, то есть мы можем построить 4-мерное многообразие, с $\pi_1$ равной $\mathbb{Z}/6$ или с $S_3$, но совершенно не факт, что оно будет неориентируемым. Как можно попытаться отконтролировать последнее свойство?

Кстати, если такое 4-МО построено, то в его фундаментальной группе есть нормальная подгруппа $\mathbb{Z}/3$, а значит её соответствует регулярное накрытие с числом листов, равным индексу этой подгруппы, то есть, двулистное. Это накрытие будет иметь фундаментальной группой $\mathbb{Z}/3$, но действие $\mathbb{Z}/2$, хотя и будет свободным, не факт, что будет менять ориентацию.

Подходит $S^2\times L(3,1)$, например. Или вам нужно обязательно четырехмерное?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по топологии
Сообщение10.04.2024, 12:06 
Аватара пользователя


28/05/15
74
Deathrose в сообщении #1635929 писал(а):
Подходит $S^2\times L(3,1)$, например. Или вам нужно обязательно четырехмерное?


Необязательно 4-мерное, можно любое

Но я пока не очень понял, разве при прямом произведении многообразий фундаментальная группа не перемножается ? У произведения сферы и линзы будет фундаментальная группа $\mathbb{Z}/3$, (таак, кажется я начинаю понимать), а нужным действием будет в сфере инволюция обычная, а в линзе тождественное отображение. В факторе будет произведение линзы и проективной плоскости, её фундаментальная группа будет $\mathbb{Z}/2$ прямое на $\mathbb{Z}/3$. И, кажется, мы построили требуемый пример. Я правильно рассуждаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по топологии
Сообщение10.04.2024, 12:09 


29/01/24
81
zcorvid в сообщении #1635931 писал(а):
Deathrose в сообщении #1635929 писал(а):
Подходит $S^2\times L(3,1)$, например. Или вам нужно обязательно четырехмерное?


Необязательно 4-мерное, можно любое

Но я пока не очень понял, разве при прямом произведении многообразий фундаментальная группа не перемножается ? У произведения сферы и линзы будет фундаментальная группа $\mathbb{Z}/3$, (таак, кажется я начинаю понимать), а нужным действием будет в сфере инволюция обычная, а в линзе тождественное отображение. В факторе будет произведение линзы и проективной плоскости, её фундаментальная группа будет $\mathbb{Z}/2$ прямое на $\mathbb{Z}/3$. И, кажется, мы построили требуемый пример. Я правильно рассуждаю?

Да, произведение многообразий ориентируемо только если оба сомножителя ориентируемы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по топологии
Сообщение10.04.2024, 12:14 
Аватара пользователя


28/05/15
74
Deathrose в сообщении #1635932 писал(а):
Да, произведение многообразий ориентируемо только если оба сомножителя ориентируемы.


Вот, линзовое ориентируемо, сфера тоже, значит произведение тоже ориентируемо, на сфере мы сменяем ориентацию, на линзе нет, значит в произведении ориентация также поменяется. Кажется, задача была совсем простая...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group