2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Минимизация матожидания
Сообщение08.04.2024, 17:06 


04/06/22
65
Привет знаток теорвера! Столкнулся со следующей задачей:
"Известно, что случайный вектор $(X, Y)$ распределён нормально:
$X, Y \sim~ N(\begin{pmatrix}
1\\
2\\
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
1&1\\
1&2\\
\end{pmatrix})$. Найдите измеримую функцию $g(x)$, минимизирующую математическое ожидание $E(-24Y^4 + g^2(X) + 2g(X)Y^2 + 4)$."
Для начала я выделил полный квадрат в выражение матожидания и таким образом пришёл к тому, что минимизация матожидания выражения в условии эквивалентна минимизации матожидания от вот такого выражения $E((Y^2 + g(X))^2)$. Далее нетрудно увидеть, что случайная величина под матожиданием неотрицательна, что значит, что и сама величина матожидания также должна быть неотрицательно. Таким образом, получили оценку снизу. В теории вероятностей есть несложный факт о том, что матожидание неотрицательной случайной величины равно нулю тогда и только тогда, когда случайная величина тождественно равна нулю. Таким образом, нам нужно найти такую функцию $g(x)$, что $g(X) = - Y^2$. Сначала, коль скоро мы знаем, что $X$ и $Y$ распределены нормально с известными нам параметрами, я попытался "превратить" с.в. $X$ в $Y$. Я рассуждал так: "с.в. $2X$ распределена как и $Y$ (это нетрудно показать), а дальше возводим $2X$ в квадрат, накидываем минус и получаем, что $-4X^2 = -Y^2$. Значит, искомая функция $g(x) = -4x^2$.". Однако, это неправильный ответ. Прошу помочь с решением этой задачи, а также, по возможности, указать, почему мое решение неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация матожидания
Сообщение08.04.2024, 17:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Laguna в сообщении #1635697 писал(а):
с.в. $2X$ распределена как и $Y$
Распределена-то она так же, но как случайная величина - другая. Если у Вас есть стандартно распределенная нормальная величина, но нет никакого доступа к её значению, то лучшее возможное предсказание - это $0$, а не новая величина, независимая с первой.

Представьте $X$ и $Y$ как линейные комбинации независимых нормальных величин и посмотрите, что получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация матожидания
Сообщение08.04.2024, 18:14 


04/06/22
65
mihaild в сообщении #1635700 писал(а):
Распределена-то она так же, но как случайная величина - другая. Если у Вас есть стандартно распределенная нормальная величина, но нет никакого доступа к её значению, то лучшее возможное предсказание - это $0$, а не новая величина, независимая с первой.

Я понял, действительно, хоть у них и одинаковые распределения, они все-таки разные и могут принимать разные значения
mihaild в сообщении #1635700 писал(а):
Представьте $X$ и $Y$ как линейные комбинации независимых нормальных величин и посмотрите, что получится.

Вот тут я нигде не продвинулся, представил я их как линейные комбинации, а дальше-то что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация матожидания
Сообщение08.04.2024, 18:40 


10/03/16
4444
Aeroport
Laguna
Я бы так рассуждал. Если $\xi$ и $\eta$ с нулевым средним и нужно минимизировать $E(\xi - \eta)^2$ по $\eta$, которые независимы (достаточно некореллированности) от $\xi$, то поскольку $E(\xi - \eta)^2 = E\xi^2 + E\eta^2 - 2cov(\xi,\eta) = E\xi^2 + E\eta^2$, то оптимальнее всего, чтобы было $\eta = 0$.
Возможно, я дибил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация матожидания
Сообщение08.04.2024, 18:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Представьте, что $X$ и $Y$ независимы. Какую в этом случае надо брать $g(X)$, чтобы минимизировать получившееся у Вас мат. ожидание?

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация матожидания
Сообщение08.04.2024, 22:44 


04/06/22
65
mihaild в сообщении #1635711 писал(а):
Представьте, что $X$ и $Y$ независимы. Какую в этом случае надо брать $g(X)$, чтобы минимизировать получившееся у Вас мат. ожидание?

Честно, никак не могу понять на что Вы намекаете...

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация матожидания
Сообщение08.04.2024, 23:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Пусть $Y$ как выше, а $Z$ не зависит от $Y$. Какая $g$ минимизирует $\mathbb E((Y^2 + g(Z))^2)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация матожидания
Сообщение08.04.2024, 23:54 


04/06/22
65
mihaild в сообщении #1635759 писал(а):
Пусть $Y$ как выше, а $Z$ не зависит от $Y$. Какая $g$ минимизирует $\mathbb E((Y^2 + g(Z))^2)$?

Я не знаю ответа на этот вопрос :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация матожидания
Сообщение09.04.2024, 00:01 


14/11/21
141
Если посчитать функциональную производную E{...} и приравнять её нулю, то мы сразу получим ответ.

Собственно, крайнее справа выражение в последнем посте mihaild уже как бы намекает на правильный ответ

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация матожидания
Сообщение09.04.2024, 00:05 


04/06/22
65
Alex Krylov в сообщении #1635761 писал(а):
Если посчитать функциональную производную E{...} и приравнять её нулю, то мы сразу получим ответ.

Ну про такие вещи я еще не слышал

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация матожидания
Сообщение09.04.2024, 00:11 


14/11/21
141
Laguna в сообщении #1635762 писал(а):
Alex Krylov в сообщении #1635761 писал(а):
Если посчитать функциональную производную E{...} и приравнять её нулю, то мы сразу получим ответ.

Ну про такие вещи я еще не слышал


Это как бы прямой путь (и универсальный инструмент) для ответа на вопросы типа: "Какая функция g(...) минимизирует некий заданный функционал?"

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация матожидания
Сообщение09.04.2024, 00:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Laguna в сообщении #1635760 писал(а):
Я не знаю ответа на этот вопрос
Подумайте. Это очень упрощенная версия того, на что Вам нужно ответить.
Можно конечно еще упростить: пусть $Z$ вообще константа, так что ищем не функцию, а число. Какое число минимизирует $\mathbb E((Y^2 + a)^2)$?
Alex Krylov в сообщении #1635761 писал(а):
Если посчитать функциональную производную E{...} и приравнять её нулю
Так конечно можно, но в данном случае это из пушки по воробьям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация матожидания
Сообщение09.04.2024, 00:32 


04/06/22
65
mihaild в сообщении #1635766 писал(а):
Подумайте. Это очень упрощенная версия того, на что Вам нужно ответить.
Можно конечно еще упростить: пусть $Z$ вообще константа, так что ищем не функцию, а число. Какое число минимизирует $\mathbb E((Y^2 + a)^2)$?

$a = -E(Y^2)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация матожидания
Сообщение09.04.2024, 01:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Правильно. Доказать можете?
Пусть теперь у нас обратно не константа, а функция $g(Z)$, где $Z$ не зависит от $Y$. Какую оптимально взять $g$?
(если непонятно, то раскройте квадрат, и воспользуйтесь свойством мат. ожидания произведения)

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация матожидания
Сообщение09.04.2024, 01:15 


04/06/22
65
mihaild в сообщении #1635768 писал(а):
Правильно. Доказать можете?

Там просто квадратный трехчлен относительно $a$ получается, а далее очевидно
mihaild в сообщении #1635768 писал(а):
Пусть теперь у нас обратно не константа, а функция $g(Z)$, где $Z$ не зависит от $Y$. Какую оптимально взять $g$?
(если непонятно, то раскройте квадрат, и воспользуйтесь свойством мат. ожидания произведения)

А вот тут у меня тупик. Я понимаю, что $E(2g(Z)Y^2) = E(2Y^2)E(g(Z))$ из-за независимости, однако не понимаю, что делать с $E(g^2(Z))$, ибо оно же не равно $E^2(g(Z))$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Bing [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group