2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Минимизация матожидания
Сообщение08.04.2024, 17:06 


04/06/22
65
Привет знаток теорвера! Столкнулся со следующей задачей:
"Известно, что случайный вектор $(X, Y)$ распределён нормально:
$X, Y \sim~ N(\begin{pmatrix}
1\\
2\\
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
1&1\\
1&2\\
\end{pmatrix})$. Найдите измеримую функцию $g(x)$, минимизирующую математическое ожидание $E(-24Y^4 + g^2(X) + 2g(X)Y^2 + 4)$."
Для начала я выделил полный квадрат в выражение матожидания и таким образом пришёл к тому, что минимизация матожидания выражения в условии эквивалентна минимизации матожидания от вот такого выражения $E((Y^2 + g(X))^2)$. Далее нетрудно увидеть, что случайная величина под матожиданием неотрицательна, что значит, что и сама величина матожидания также должна быть неотрицательно. Таким образом, получили оценку снизу. В теории вероятностей есть несложный факт о том, что матожидание неотрицательной случайной величины равно нулю тогда и только тогда, когда случайная величина тождественно равна нулю. Таким образом, нам нужно найти такую функцию $g(x)$, что $g(X) = - Y^2$. Сначала, коль скоро мы знаем, что $X$ и $Y$ распределены нормально с известными нам параметрами, я попытался "превратить" с.в. $X$ в $Y$. Я рассуждал так: "с.в. $2X$ распределена как и $Y$ (это нетрудно показать), а дальше возводим $2X$ в квадрат, накидываем минус и получаем, что $-4X^2 = -Y^2$. Значит, искомая функция $g(x) = -4x^2$.". Однако, это неправильный ответ. Прошу помочь с решением этой задачи, а также, по возможности, указать, почему мое решение неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация матожидания
Сообщение08.04.2024, 17:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Laguna в сообщении #1635697 писал(а):
с.в. $2X$ распределена как и $Y$
Распределена-то она так же, но как случайная величина - другая. Если у Вас есть стандартно распределенная нормальная величина, но нет никакого доступа к её значению, то лучшее возможное предсказание - это $0$, а не новая величина, независимая с первой.

Представьте $X$ и $Y$ как линейные комбинации независимых нормальных величин и посмотрите, что получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация матожидания
Сообщение08.04.2024, 18:14 


04/06/22
65
mihaild в сообщении #1635700 писал(а):
Распределена-то она так же, но как случайная величина - другая. Если у Вас есть стандартно распределенная нормальная величина, но нет никакого доступа к её значению, то лучшее возможное предсказание - это $0$, а не новая величина, независимая с первой.

Я понял, действительно, хоть у них и одинаковые распределения, они все-таки разные и могут принимать разные значения
mihaild в сообщении #1635700 писал(а):
Представьте $X$ и $Y$ как линейные комбинации независимых нормальных величин и посмотрите, что получится.

Вот тут я нигде не продвинулся, представил я их как линейные комбинации, а дальше-то что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация матожидания
Сообщение08.04.2024, 18:40 


10/03/16
4444
Aeroport
Laguna
Я бы так рассуждал. Если $\xi$ и $\eta$ с нулевым средним и нужно минимизировать $E(\xi - \eta)^2$ по $\eta$, которые независимы (достаточно некореллированности) от $\xi$, то поскольку $E(\xi - \eta)^2 = E\xi^2 + E\eta^2 - 2cov(\xi,\eta) = E\xi^2 + E\eta^2$, то оптимальнее всего, чтобы было $\eta = 0$.
Возможно, я дибил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация матожидания
Сообщение08.04.2024, 18:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Представьте, что $X$ и $Y$ независимы. Какую в этом случае надо брать $g(X)$, чтобы минимизировать получившееся у Вас мат. ожидание?

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация матожидания
Сообщение08.04.2024, 22:44 


04/06/22
65
mihaild в сообщении #1635711 писал(а):
Представьте, что $X$ и $Y$ независимы. Какую в этом случае надо брать $g(X)$, чтобы минимизировать получившееся у Вас мат. ожидание?

Честно, никак не могу понять на что Вы намекаете...

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация матожидания
Сообщение08.04.2024, 23:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Пусть $Y$ как выше, а $Z$ не зависит от $Y$. Какая $g$ минимизирует $\mathbb E((Y^2 + g(Z))^2)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация матожидания
Сообщение08.04.2024, 23:54 


04/06/22
65
mihaild в сообщении #1635759 писал(а):
Пусть $Y$ как выше, а $Z$ не зависит от $Y$. Какая $g$ минимизирует $\mathbb E((Y^2 + g(Z))^2)$?

Я не знаю ответа на этот вопрос :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация матожидания
Сообщение09.04.2024, 00:01 


14/11/21
141
Если посчитать функциональную производную E{...} и приравнять её нулю, то мы сразу получим ответ.

Собственно, крайнее справа выражение в последнем посте mihaild уже как бы намекает на правильный ответ

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация матожидания
Сообщение09.04.2024, 00:05 


04/06/22
65
Alex Krylov в сообщении #1635761 писал(а):
Если посчитать функциональную производную E{...} и приравнять её нулю, то мы сразу получим ответ.

Ну про такие вещи я еще не слышал

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация матожидания
Сообщение09.04.2024, 00:11 


14/11/21
141
Laguna в сообщении #1635762 писал(а):
Alex Krylov в сообщении #1635761 писал(а):
Если посчитать функциональную производную E{...} и приравнять её нулю, то мы сразу получим ответ.

Ну про такие вещи я еще не слышал


Это как бы прямой путь (и универсальный инструмент) для ответа на вопросы типа: "Какая функция g(...) минимизирует некий заданный функционал?"

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация матожидания
Сообщение09.04.2024, 00:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Laguna в сообщении #1635760 писал(а):
Я не знаю ответа на этот вопрос
Подумайте. Это очень упрощенная версия того, на что Вам нужно ответить.
Можно конечно еще упростить: пусть $Z$ вообще константа, так что ищем не функцию, а число. Какое число минимизирует $\mathbb E((Y^2 + a)^2)$?
Alex Krylov в сообщении #1635761 писал(а):
Если посчитать функциональную производную E{...} и приравнять её нулю
Так конечно можно, но в данном случае это из пушки по воробьям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация матожидания
Сообщение09.04.2024, 00:32 


04/06/22
65
mihaild в сообщении #1635766 писал(а):
Подумайте. Это очень упрощенная версия того, на что Вам нужно ответить.
Можно конечно еще упростить: пусть $Z$ вообще константа, так что ищем не функцию, а число. Какое число минимизирует $\mathbb E((Y^2 + a)^2)$?

$a = -E(Y^2)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация матожидания
Сообщение09.04.2024, 01:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Правильно. Доказать можете?
Пусть теперь у нас обратно не константа, а функция $g(Z)$, где $Z$ не зависит от $Y$. Какую оптимально взять $g$?
(если непонятно, то раскройте квадрат, и воспользуйтесь свойством мат. ожидания произведения)

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация матожидания
Сообщение09.04.2024, 01:15 


04/06/22
65
mihaild в сообщении #1635768 писал(а):
Правильно. Доказать можете?

Там просто квадратный трехчлен относительно $a$ получается, а далее очевидно
mihaild в сообщении #1635768 писал(а):
Пусть теперь у нас обратно не константа, а функция $g(Z)$, где $Z$ не зависит от $Y$. Какую оптимально взять $g$?
(если непонятно, то раскройте квадрат, и воспользуйтесь свойством мат. ожидания произведения)

А вот тут у меня тупик. Я понимаю, что $E(2g(Z)Y^2) = E(2Y^2)E(g(Z))$ из-за независимости, однако не понимаю, что делать с $E(g^2(Z))$, ибо оно же не равно $E^2(g(Z))$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group