Минимизация матожидания

[Laguna]

Привет знаток теорвера! Столкнулся со следующей задачей:
"Известно, что случайный вектор $(X, Y)$ распределён нормально:
$X, Y \sim~ N(\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&2\\ \end{pmatrix})$. Найдите измеримую функцию $g(x)$, минимизирующую математическое ожидание $E(-24Y^4 + g^2(X) + 2g(X)Y^2 + 4)$."
Для начала я выделил полный квадрат в выражение матожидания и таким образом пришёл к тому, что минимизация матожидания выражения в условии эквивалентна минимизации матожидания от вот такого выражения $E((Y^2 + g(X))^2)$. Далее нетрудно увидеть, что случайная величина под матожиданием неотрицательна, что значит, что и сама величина матожидания также должна быть неотрицательно. Таким образом, получили оценку снизу. В теории вероятностей есть несложный факт о том, что матожидание неотрицательной случайной величины равно нулю тогда и только тогда, когда случайная величина тождественно равна нулю. Таким образом, нам нужно найти такую функцию $g(x)$, что $g(X) = - Y^2$. Сначала, коль скоро мы знаем, что $X$ и $Y$ распределены нормально с известными нам параметрами, я попытался "превратить" с.в. $X$ в $Y$. Я рассуждал так: "с.в. $2X$ распределена как и $Y$ (это нетрудно показать), а дальше возводим $2X$ в квадрат, накидываем минус и получаем, что $-4X^2 = -Y^2$. Значит, искомая функция $g(x) = -4x^2$.". Однако, это неправильный ответ. Прошу помочь с решением этой задачи, а также, по возможности, указать, почему мое решение неверно.

[mihaild]

Laguna в сообщении #1635697 писал(а):

с.в. $2X$ распределена как и $Y$

Распределена-то она так же, но как случайная величина - другая. Если у Вас есть стандартно распределенная нормальная величина, но нет никакого доступа к её значению, то лучшее возможное предсказание - это $0$, а не новая величина, независимая с первой.

Представьте $X$ и $Y$ как линейные комбинации независимых нормальных величин и посмотрите, что получится.

[Laguna]

mihaild в сообщении #1635700 писал(а):

Распределена-то она так же, но как случайная величина - другая. Если у Вас есть стандартно распределенная нормальная величина, но нет никакого доступа к её значению, то лучшее возможное предсказание - это $0$, а не новая величина, независимая с первой.

Я понял, действительно, хоть у них и одинаковые распределения, они все-таки разные и могут принимать разные значения

mihaild в сообщении #1635700 писал(а):

Представьте $X$ и $Y$ как линейные комбинации независимых нормальных величин и посмотрите, что получится.

Вот тут я нигде не продвинулся, представил я их как линейные комбинации, а дальше-то что?

[ozheredov]

Laguna
Я бы так рассуждал. Если $\xi$ и $\eta$ с нулевым средним и нужно минимизировать $E(\xi - \eta)^2$ по $\eta$, которые независимы (достаточно некореллированности) от $\xi$, то поскольку $E(\xi - \eta)^2 = E\xi^2 + E\eta^2 - 2cov(\xi,\eta) = E\xi^2 + E\eta^2$, то оптимальнее всего, чтобы было $\eta = 0$.
Возможно, я дибил.

[mihaild]

Представьте, что $X$ и $Y$ независимы. Какую в этом случае надо брать $g(X)$, чтобы минимизировать получившееся у Вас мат. ожидание?

[Laguna]

mihaild в сообщении #1635711 писал(а):

Представьте, что $X$ и $Y$ независимы. Какую в этом случае надо брать $g(X)$, чтобы минимизировать получившееся у Вас мат. ожидание?

Честно, никак не могу понять на что Вы намекаете...

[mihaild]

Пусть $Y$ как выше, а $Z$ не зависит от $Y$. Какая $g$ минимизирует $\mathbb E((Y^2 + g(Z))^2)$?

[Laguna]

mihaild в сообщении #1635759 писал(а):

Пусть $Y$ как выше, а $Z$ не зависит от $Y$. Какая $g$ минимизирует $\mathbb E((Y^2 + g(Z))^2)$?

Я не знаю ответа на этот вопрос

[Alex Krylov]

Если посчитать функциональную производную E{...} и приравнять её нулю, то мы сразу получим ответ.

Собственно, крайнее справа выражение в последнем посте mihaild уже как бы намекает на правильный ответ

[Laguna]

Alex Krylov в сообщении #1635761 писал(а):

Если посчитать функциональную производную E{...} и приравнять её нулю, то мы сразу получим ответ.

Ну про такие вещи я еще не слышал

[Alex Krylov]

Laguna в сообщении #1635762 писал(а):

Alex Krylov в сообщении #1635761 писал(а):

Если посчитать функциональную производную E{...} и приравнять её нулю, то мы сразу получим ответ.

Ну про такие вещи я еще не слышал

Это как бы прямой путь (и универсальный инструмент) для ответа на вопросы типа: "Какая функция g(...) минимизирует некий заданный функционал?"

[mihaild]

Laguna в сообщении #1635760 писал(а):

Я не знаю ответа на этот вопрос

Подумайте. Это очень упрощенная версия того, на что Вам нужно ответить.
Можно конечно еще упростить: пусть $Z$ вообще константа, так что ищем не функцию, а число. Какое число минимизирует $\mathbb E((Y^2 + a)^2)$?

Alex Krylov в сообщении #1635761 писал(а):

Если посчитать функциональную производную E{...} и приравнять её нулю

Так конечно можно, но в данном случае это из пушки по воробьям.

[Laguna]

mihaild в сообщении #1635766 писал(а):

Подумайте. Это очень упрощенная версия того, на что Вам нужно ответить.
Можно конечно еще упростить: пусть $Z$ вообще константа, так что ищем не функцию, а число. Какое число минимизирует $\mathbb E((Y^2 + a)^2)$?

$a = -E(Y^2)$?

[mihaild]

Правильно. Доказать можете?
Пусть теперь у нас обратно не константа, а функция $g(Z)$, где $Z$ не зависит от $Y$. Какую оптимально взять $g$?
(если непонятно, то раскройте квадрат, и воспользуйтесь свойством мат. ожидания произведения)

[Laguna]

mihaild в сообщении #1635768 писал(а):

Правильно. Доказать можете?

Там просто квадратный трехчлен относительно $a$ получается, а далее очевидно

mihaild в сообщении #1635768 писал(а):

Пусть теперь у нас обратно не константа, а функция $g(Z)$, где $Z$ не зависит от $Y$. Какую оптимально взять $g$?
(если непонятно, то раскройте квадрат, и воспользуйтесь свойством мат. ожидания произведения)

А вот тут у меня тупик. Я понимаю, что $E(2g(Z)Y^2) = E(2Y^2)E(g(Z))$ из-за независимости, однако не понимаю, что делать с $E(g^2(Z))$, ибо оно же не равно $E^2(g(Z))$