Непрерывные отображения

[DanWalton]

Приведу очень кратко понятные мне вещи и потом задам вопрос. Отображение непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз каждого открытого множества открыт. Отображение непрерывно когда любая окрестность образа каждой точки содержит образ окрестности прообраза. В Википедии говорится что непрерывное отображение переводит соседние точки в соседние.

Я строю отображение из прямой X на прямую Y и в качестве открытых множеств выбираю интервалы 1, 2 и 3. Потом интервалы 1 2 3 отображаю как на картинке в интервалы 1' 3' 2' причём в Y они у меня также открыты. Получается прообраз каждого открытого интервала открыт и отображение должно быть непрерывным, но у интервала 1 соседний ему был 2, а после отображения два интервала больше не соседние. Это нормально? Если в качестве окрестности интервала 1' выбрать интервал A, включающий только интервалы 1' и 3', то подходит ли сам интервал 1 в качестве окрестности интервала 1, образ которого содержался бы в A? Почему близкие друг к другу интервалы перестали таковыми быть после непрерывного (?) отображения?

[dgwuqtj]

Наверное, непрерывность проще изучать со случая метрических пространств и $\varepsilon$-$\delta$-формализма. У вас всего лишь прообразы трёх конкретных интервалов открыты, а не прообразы всех интервалов вообще. А что будет с прообразами окрестностей точек между интервалами 1' и 3'?

[mihaild]

DanWalton в сообщении #1635121 писал(а):

Я строю отображение из прямой X на прямую Y и в качестве открытых множеств выбираю интервалы 1, 2 и 3.

Вот тут путаница. Для проверки непрерывности Вы не можете просто так выбирать интервалы. Если отображение непрерывно, то по любой точке из образа, прообразу этой точки, и интервалу вокруг образа, Вы должны суметь найти интервал прообраза.

Из Вашего описания не очень понятно, нулевое ли расстояние между Вашими интервалами, или нет. Можете написать конкретные числа?
Если границы общие - то куда переходит точка между интервалами 1 и 2?
Если расстояние ненулевое - то такое отображение есть, "в соседние" переходят только "близкие" точки.

Кроме того, "соседние" в смысле "близкие", а не в смысле "по порядку". Можно найти непрерывное отображение $[-1, 1] \to [-1, 1]$, такое что $f(0) = 0$, $f\left(\frac{1}{2n}\right) > f\left(\frac{1}{2n + 1}\right)$ - т.е. есть сколь угодно близкие к нулю точки, которые оказываются при дальше от нуля, чем некоторые более далекие.

[ИСН]

"Соседние" - это поэтическая вольность, популярное пояснение, которое на том уровне, на каком задан Ваш вопрос, ничего не поясняет, а только запутывает. Смотрите на определение. В нём нет слов "соседние", "близкие", "между". Зато есть слово "открытые". Вы можете отличить открытые множества от не-открытых? Больше ничего не нужно.

[DanWalton]

mihaild,
Ну я выделил именно эти три интервала, как единственные, в которых отображение их меняет местами, пусть например при этом отображении все остальные интервалы на прямой переходят в себя, то есть во всех других случаях отображение по условию непрерывно.
Да, между каждым интервалом у меня находится только одна точка. Для примера интервалы 1, 2, 3 с первой картинки это (1;2), (2;3), (3,4) соответственно. И пусть точки между этими интервалами при отображении переходят в себя. Должно вроде выйти что образ и прообраз этих точек замкнуты, что опять сходится с первым определением, если его переиначить для замкнутых множеств.

А по второму определению, где используется понятие окрестностей: какую бы мы не взяли окрестность B образа точки 2, в любую её окрестность войдут точки и из интервала (1;2) и из (3;4) и найти окрестность прообраза точки 2, образ которой полностью содержался бы в B у меня не выходит. Ведь в любую окрестность прообраза точки 2 будут входить точки, не входящие в B при отображении.

[mihaild]

DanWalton в сообщении #1635173 писал(а):

пусть например при этом отображении все остальные интервалы на прямой переходят в себя

Это невозможно. Отображение задается поточечно, его нельзя определить на каждом интервале произвольно.
Вы, видимо, имеете в виду, что точки из $(2, 3)$ переходят в $(3, 4)$ по правилу $x \to x + 1$, точки $(3, 4)$ переходят в $(2, 3)$ по правилу $x \to x - 1$, а остальные остаются на месте. Так?

DanWalton в сообщении #1635173 писал(а):

Должно вроде выйти что образ и прообраз этих точек замкнуты, что опять сходится с первым определением, если его переиначить для замкнутых множеств

Как конкретно вы его переиначиваете?

DanWalton в сообщении #1635173 писал(а):

и найти окрестность прообраза точки 2, образ которой полностью содержался бы в B у меня не выходит

Правильно. Потому что Ваше отображение разрывно в точке 2.

[DanWalton]

mihaild в сообщении #1635178 писал(а):

Вы, видимо, имеете в виду, что точки из $(2, 3)$ переходят в $(3, 4)$ по правилу $x \to x + 1$, точки $(3, 4)$ переходят в $(2, 3)$ по правилу $x \to x - 1$, а остальные остаются на месте. Так?

Да, я это и имел в виду, просто некорректно выразился.

mihaild в сообщении #1635178 писал(а):

Как конкретно вы его переиначиваете?

Отображение непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз всякого замкнутого множества замкнут.

mihaild в сообщении #1635178 писал(а):

Правильно. Потому что Ваше отображение разрывно в точке 2.

Значит должно быть расхождение с определением выше. Пока что не могу найти расхождение. Любая точка это ведь замкнутое множество, и при отображении оно остаётся замкнутым. Я вообще такими интервалами хотел задать топологии на этих прямых. Вроде как тогда что на X, что на Y такие интервалы принадлежат соответствующим топологиям. Значит можно ведь в качестве отображаемых множеств брать эти интервалы, как элементы из топологии? Тогда это уже открытые множества, причём и их образы выходят открытыми, а отображение то разрывно, как Вы и сказали. Вот думаю в каком месте у меня ошибка.

[mihaild]

DanWalton в сообщении #1635184 писал(а):

Пока что не могу найти расхождение. Любая точка это ведь замкнутое множество, и при отображении оно остаётся замкнутым.

Нужно, чтобы прообраз вообще любого замкнутого множества был замкнут. Упражнение: найдите отрезок, прообраз которого не замкнут.

DanWalton в сообщении #1635184 писал(а):

Я вообще такими интервалами хотел задать топологии на этих прямых.

Какими "такими"? Этими тремя? Тогда отображение будет непрерывным (интервал $(1.5, 2.5)$ перестанет быть открытым).
Можно еще взять тривиальную топологию (открыты только всё пространство и пустое множества), тогда вообще любое отображение будет непрерывным.
Интуиция про "близкие точки переходят в близкие" - для стандартной топологии (на самом деле и для других случаях тоже похожие соображения работают, но ИМХО лучше сначала разобраться со стандартной топологией на прямой).

[DanWalton]

Извиняюсь за долгое молчание!

mihaild в сообщении #1635189 писал(а):

Упражнение: найдите отрезок, прообраз которого не замкнут.

Взять например отрезок [2;3] из образа (из Y): тогда прообраз точки 2 это точка 2. Прообраз точки 3 тоже точка 3, но сразу же справа от неё находится прообраз интервала (3;4). Точка 3 и интервал (3;4) из X образуют полуинтервал [3;4). Таким образом, полуинтервал [3;4) в объединении с точкой 2 образует прообраз отрезка [2;3].

Я предполагаю, что полуинтервал в стандартной топологии не замкнут. Правильно? Но ведь и открытым он не является? Потому как в стандартной топологии на прямой открыты только интервалы. Помогите пожалуйста здесь разобраться.

mihaild в сообщении #1635189 писал(а):

Какими "такими"? Этими тремя? Тогда отображение будет непрерывным (интервал $(1.5, 2.5)$ перестанет быть открытым).

Если задавать топологию только этими тремя интервалами, то при отображении ведь точки так же будут перемешиваться, но отображение будет непрерывным. Значит для такой топологии (не являющейся стандартной) интуиция про близкие точки не работает?

[mihaild]

DanWalton в сообщении #1636041 писал(а):

Я предполагаю, что полуинтервал в стандартной топологии не замкнут. Правильно?

Правильно. Только нужно рассматривать не в стандартной топологии, а в её ограничении на область определения функции (в данном случае отрезок $[0, 4]$), но там он тоже не замкнут.

DanWalton в сообщении #1636041 писал(а):

Но ведь и открытым он не является?

Не является. И что в этом страшного? Есть куча множеств, которые не замкнуты и не открыты.

DanWalton в сообщении #1636041 писал(а):

Потому как в стандартной топологии на прямой открыты только интервалы

А еще объединения интервалов.

DanWalton в сообщении #1636041 писал(а):

Значит для такой топологии (не являющейся стандартной) интуиция про близкие точки не работает?

Про это можно думать двумя способами - либо что да, не работает, либо что для такой топологии другое понятие "близких точек".

[DanWalton]

mihaild,
Тогда всё понятно, с Вашей помощью разобрался
Очень Вам благодарен!