Я строю отображение из прямой X на прямую Y и в качестве открытых множеств выбираю интервалы 1, 2 и 3.
Вот тут путаница. Для проверки непрерывности Вы не можете просто так выбирать интервалы. Если отображение непрерывно, то по любой точке из образа, прообразу этой точки, и интервалу вокруг образа, Вы должны суметь найти интервал прообраза.
Из Вашего описания не очень понятно, нулевое ли расстояние между Вашими интервалами, или нет. Можете написать конкретные числа?
Если границы общие - то куда переходит точка между интервалами 1 и 2?
Если расстояние ненулевое - то такое отображение есть, "в соседние" переходят только "близкие" точки.
Кроме того, "соседние" в смысле "близкие", а не в смысле "по порядку". Можно найти непрерывное отображение
, такое что
,
- т.е. есть сколь угодно близкие к нулю точки, которые оказываются при дальше от нуля, чем некоторые более далекие.