естественная область сущестования полной аналитической функции - вся плоскость, кроме этих двух точек(?).
Правильно.
Правильно я понимаю, что разложение в ряд Лорана во внешности круга
по степеням
не даст нам никакой информации о характере полюсов, области существования и т.д.?
Вообще говоря, да. Если имеется функция, определенная во внешности какого-то круга
, и если в этой внешности она разлагается в ряд Лорана
, то никаких особых выводов из этого сделать нельзя. Разве что, если ряд
расходится, или сходится медленнее, чем геометрическая прогрессия
, для любого
, то можно сделать вывод, что на границе круга есть особенность. В том смысле, что во внешность никакого
меньшего круга с тем же центром функция не может быть продолжена.
В принципе же, если ряд Лорана задан, то про функцию "всё известно", поскольку существует не более одной функции с данным рядом Лорана, и, таким образом, на любой вопрос про эту функцию имеется однозначный ответ. Но только
в принципе, поскольку очевидного способа дать ответ на вопрос прямо по виду коэффициентов ряда, как правило, нет.