2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Простой вопрос по основам ТФКП
Сообщение31.03.2024, 21:02 


28/08/13
538
Как определить естественную область существования полной аналитической функции, а также правильно интерпертировать ряд Лорана в окрестности особы точек? Пусть, например,
$$f(z)=\frac{1}{z-1}+\frac{1}{z+2}.$$
Мне видится(сразу скажу, что уровень образования по ТФКП у меня - "провинциальный политех"), что везде, кроме $z_1=1$, $z_2=-2$, у неё всё хорошо и однозначно, значит, естественная область сущестования полной аналитической функции - вся плоскость, кроме этих двух точек(?).

Раз умножением на соотв. $z-z_{1,2}$ мы устраняем особенность в знаменателе, то имеем изолированные особые точки.
Или иначе: разложим функцию в ряд Лорана около $z_1=1$ в кольце $0<|z-1|<3,$ получим $$f(z)=\frac{1}{z-1}+\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(z-1)^n}{3^{n+1}},$$ ну и из наличия в главной части лишь члена с $n=-1$ делаем вывод о полюсе первого порядка.
Правильно я понимаю, что разложение в ряд Лорана во внешности круга $|z-1|>3$ по степеням $z-1$ не даст нам никакой информации о характере полюсов, области существования и т.д.?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой вопрос по основам ТФКП
Сообщение31.03.2024, 21:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9216
Цюрих
Ascold в сообщении #1634960 писал(а):
Правильно я понимаю, что разложение в ряд Лорана во внешности круга $|z-1|>3$ по степеням $z-1$ не даст нам никакой информации о характере полюсов, области существования и т.д.?
Разложение в ряд Лорана в любой области полностью задает функцию. Но непосредственно глядя на разложение в этом кольце можно будет легко увидеть, что есть особенность на окружности $|z - 1| = 3$ (из радиуса сходимости), но вроде бы существование полюса в $z = 1$ у аналитического продолжения наглядно не видно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой вопрос по основам ТФКП
Сообщение01.04.2024, 00:45 
Заслуженный участник


18/01/15
3245
Ascold в сообщении #1634960 писал(а):
естественная область сущестования полной аналитической функции - вся плоскость, кроме этих двух точек(?).

Правильно.
Ascold в сообщении #1634960 писал(а):
Правильно я понимаю, что разложение в ряд Лорана во внешности круга $|z-1|>3$ по степеням $z-1$ не даст нам никакой информации о характере полюсов, области существования и т.д.?
Вообще говоря, да. Если имеется функция, определенная во внешности какого-то круга $|z-z_0|>R$, и если в этой внешности она разлагается в ряд Лорана $f(z)=\sum_{n=-\infty}^m a_n z^n$, то никаких особых выводов из этого сделать нельзя. Разве что, если ряд $f(z)=\sum_{n=-\infty}^m |a_n| R^n$ расходится, или сходится медленнее, чем геометрическая прогрессия $\sum_{l=0}^\infty q^l$, для любого $0<q<1$, то можно сделать вывод, что на границе круга есть особенность. В том смысле, что во внешность никакого меньшего круга с тем же центром функция не может быть продолжена.

В принципе же, если ряд Лорана задан, то про функцию "всё известно", поскольку существует не более одной функции с данным рядом Лорана, и, таким образом, на любой вопрос про эту функцию имеется однозначный ответ. Но только в принципе, поскольку очевидного способа дать ответ на вопрос прямо по виду коэффициентов ряда, как правило, нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой вопрос по основам ТФКП
Сообщение01.04.2024, 05:18 
Заслуженный участник


18/01/15
3245
P.S.
Ascold в сообщении #1634960 писал(а):
сразу скажу, что уровень образования по ТФКП у меня - "провинциальный политех"
А можете не стесняться, у меня тоже так себе. Сейчас как раз нахожусь в процессе постепенного доучивания данного предмета. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group