Простой вопрос по основам ТФКП

[Ascold]

Как определить естественную область существования полной аналитической функции, а также правильно интерпертировать ряд Лорана в окрестности особы точек? Пусть, например,

$$f(z)=\frac{1}{z-1}+\frac{1}{z+2}.$$

Мне видится(сразу скажу, что уровень образования по ТФКП у меня - "провинциальный политех"), что везде, кроме $z_1=1$, $z_2=-2$, у неё всё хорошо и однозначно, значит, естественная область сущестования полной аналитической функции - вся плоскость, кроме этих двух точек(?).

Раз умножением на соотв. $z-z_{1,2}$ мы устраняем особенность в знаменателе, то имеем изолированные особые точки.
Или иначе: разложим функцию в ряд Лорана около $z_1=1$ в кольце $0<|z-1|<3,$ получим

$$f(z)=\frac{1}{z-1}+\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(z-1)^n}{3^{n+1}},$$

ну и из наличия в главной части лишь члена с $n=-1$ делаем вывод о полюсе первого порядка.
Правильно я понимаю, что разложение в ряд Лорана во внешности круга $|z-1|>3$ по степеням $z-1$ не даст нам никакой информации о характере полюсов, области существования и т.д.?

[mihaild]

Ascold в сообщении #1634960 писал(а):

Правильно я понимаю, что разложение в ряд Лорана во внешности круга $|z-1|>3$ по степеням $z-1$ не даст нам никакой информации о характере полюсов, области существования и т.д.?

Разложение в ряд Лорана в любой области полностью задает функцию. Но непосредственно глядя на разложение в этом кольце можно будет легко увидеть, что есть особенность на окружности $|z - 1| = 3$ (из радиуса сходимости), но вроде бы существование полюса в $z = 1$ у аналитического продолжения наглядно не видно.

[vpb]

Ascold в сообщении #1634960 писал(а):

естественная область сущестования полной аналитической функции - вся плоскость, кроме этих двух точек(?).

Правильно.

Ascold в сообщении #1634960 писал(а):

Правильно я понимаю, что разложение в ряд Лорана во внешности круга $|z-1|>3$ по степеням $z-1$ не даст нам никакой информации о характере полюсов, области существования и т.д.?

Вообще говоря, да. Если имеется функция, определенная во внешности какого-то круга $|z-z_0|>R$, и если в этой внешности она разлагается в ряд Лорана $f(z)=\sum_{n=-\infty}^m a_n z^n$, то никаких особых выводов из этого сделать нельзя. Разве что, если ряд $f(z)=\sum_{n=-\infty}^m |a_n| R^n$ расходится, или сходится медленнее, чем геометрическая прогрессия $\sum_{l=0}^\infty q^l$, для любого $0<q<1$, то можно сделать вывод, что на границе круга есть особенность. В том смысле, что во внешность никакого меньшего круга с тем же центром функция не может быть продолжена.

В принципе же, если ряд Лорана задан, то про функцию "всё известно", поскольку существует не более одной функции с данным рядом Лорана, и, таким образом, на любой вопрос про эту функцию имеется однозначный ответ. Но только в принципе, поскольку очевидного способа дать ответ на вопрос прямо по виду коэффициентов ряда, как правило, нет.

[vpb]

P.S.

Ascold в сообщении #1634960 писал(а):

сразу скажу, что уровень образования по ТФКП у меня - "провинциальный политех"

А можете не стесняться, у меня тоже так себе. Сейчас как раз нахожусь в процессе постепенного доучивания данного предмета.