Задача из топологии

[Gg322]

Padawan

Пусть $M$ связно, а замыкание $\overline{M}$ нет. Тогда существуют два замкнутых множества $F,G: \overline{M}\subset F\cup G, F \cap \overline{M} \neq \varnothing, G \cap \overline{M} \neq \varnothing, F \cap G = \varnothing $. Но множество лежит в своём замыкании, значит $M\subset F\cup G$. Покажем, что пересечения $M \cap F, M \cap G$ не пустые. Иначе $M$ попало бы в только в одно из множеств, пусть $M \subset F$. $F$ замкнуто, поэтому содержит все свои предельные точки, значит и содержит предельные точки $M$, т.е. $\overline{M} \subset F$, а это не так по условию. Значит $M$ не связно, противоречие.