Док-во: любая интегрируемая функция непрерывна в нек. точке

[cloudially]

Как можно (и можно ли вообще) через определение интеграла Римана как предел инт. сумм доказать, что любая интегрируемая по Риману на [a, b] функция должна быть непрерывна в некоторой точке x $\in$ [a, b]?
С какой стороны подступиться к док-ву? Не могу найти зацепку.

[gris]

Всего лишь в одной? Ну попробуйте от противного.

[mihaild]

Покажите, что все точки, разрыв в которых больше чем на $\varepsilon$ (т.е. в любой окрестности которых есть точки, значения функции в которых отличаются больше чем на $\varepsilon$) можно покрыть отрезками сколь угодно малой суммарной длины.

[cloudially]

mihaild в сообщении #1634302 писал(а):

Покажите, что все точки, разрыв в которых больше чем на $\varepsilon$ (т.е. в любой окрестности которых есть точки, значения функции в которых отличаются больше чем на $\varepsilon$) можно покрыть отрезками сколь угодно малой суммарной длины.

мне нужно для одной точки только показать непрерывность, но зато без Лебега

[Dan B-Yallay]

cloudially в сообщении #1634304 писал(а):

мне нужно для одной точки только показать непрерывность, но зато без Лебега

Так Вам и не предлагают по Лебегу.

[iifat]

mihaild в сообщении #1634302 писал(а):

можно покрыть отрезками сколь угодно малой суммарной длины

Что-то не понял. Звучит как начало доказательства того, что интегрируемая функция может иметь конечное число разрывов, не?

[мат-ламер]

iifat в сообщении #1634353 писал(а):

Что-то не понял. Звучит как начало доказательства того, что интегрируемая функция может иметь конечное число разрывов, не?

Не. Интегрируемая по Риману функция может иметь множество разрывов не более нулевой меры. Но ТС такой подход не удовлетворяет (если я его правильно понял).

[mihaild]

А, можно же совсем просто. У любого отрезка есть подотрезок, во всех точках которого разрыв меньше чем $\frac{1}{n}$ (иначе верхние и нижние интегральные суммы по этому отрезку для любого разбиения сильно отличаются).

Альтернативно можно сказать, что множество точек, в которых разрыв хотя бы на $\frac{1}{n}$, замкнуто, и не содержит внутренних точек. А отрезок имеет вторую категорию Бэра. Но я не уверен, что это проще чем через меру.

[gris]

чо не хотите от противного? Функция противная требованию непрерывности хотя бы в одной точке есть функция всюду разрывная. То есть существует эпсилон, которое меньше колебания на любом интервале (тоже доказывается от противного на отрезке). Значит любое разбиение имеет две частичные суммы Дарбу, отличающиеся на эпсилон, умноженное на длину отрезка интегрирования. И о каком пределе можно тут говорить.
То есть интегрируемая функция непрерывна хотя бы в одной точке. Ну, это если только ограничится скромным желанием ТС
Надо лишь всё аккуратно написать с кванторами и логическими знаками

[gris]

отрекаюсь от предыдущего сообщения