А, можно же совсем просто. У любого отрезка есть подотрезок, во всех точках которого разрыв меньше чем

(иначе верхние и нижние интегральные суммы по этому отрезку для любого разбиения сильно отличаются).
Альтернативно можно сказать, что множество точек, в которых разрыв хотя бы на

, замкнуто, и не содержит внутренних точек. А отрезок имеет вторую категорию Бэра. Но я не уверен, что это проще чем через меру.