2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ранг матрицы по строками и по столбцам
Сообщение28.03.2024, 00:33 


05/08/18
149
Москва
Здравствуйте, участники форума.

Что-то я запутался с определением ранга матрицы упрощённым способом:
сравниваю уникальность строк и уникальность столбцов (чтобы они не были линейно зависимы). По строкам ранг выходит равным 2, а по стоблцам выходит равным 3.
Матрица такая:

$$\begin{pmatrix}
 &1  &-1 & 2 \\
 &2  &-2 &4 \\
 &3  &5  &7
\end{pmatrix}$$

Если идти по строкам, то очевидно, что первая и вторая строки линейно зависимы, а третья с ними не связана. Отсюда ранг 2. А стоблцы все независимы (никакой из столбцов из суммы двух других не получается. И также не получается умножением на число какого-то одного другого столбца). Получаются три независимых столбца, дающих 3-й ранг. А я читал, что ранги по строкам и стобцам должны совпадать. Где же я делаю ошибку?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы по строками и по столбцам
Сообщение28.03.2024, 00:54 
Заслуженный участник


23/05/19
1147
Andrey from Mos
Andrey from Mos в сообщении #1634461 писал(а):
никакой из столбцов из суммы двух других не получается. И также не получается умножением на число какого-то одного другого столбца

Да, но из этого не следует независимость. В общем случае может быть умножение двух столбцов на число и их сложение. В данном случае, как раз, второй столбец является линейной комбинацией первого и третьего. Коэффициенты попробуйте подобрать самостоятельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы по строками и по столбцам
Сообщение28.03.2024, 01:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Кстати,
$c_1\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}-1\\-2\\\phantom{+}5\end{bmatrix}+c_3\begin{bmatrix}2\\4 \\7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$
— всё равно что
$\begin{bmatrix}1  &-1 & 2 \\2  &-2 &4 \\3  &\phantom{+}5  &7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы по строками и по столбцам
Сообщение28.03.2024, 03:19 


05/08/18
149
Москва
to Dedekind:
Спасибо. Нашел коэффициенты -17 и 8 - множители соответственно для первого и третьего столбцов. Как-то сразу не догадался систему составить. Значит, ранг - 2 и все сходится, как по горизонтали, так и по вертикали.

to svv: над вашей информацией завтра подумаю. спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы по строками и по столбцам
Сообщение02.04.2024, 01:43 


05/08/18
149
Москва
to svv: Честно говоря, не понял, зачем вы это написали. Это же сложение трёх векторов - нужно сложить их координаты. Какой смысл вы там заложили?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы по строками и по столбцам
Сообщение02.04.2024, 02:56 


10/03/16
4444
Aeroport
Andrey from Mos в сообщении #1635075 писал(а):
Какой смысл


Произведение матрицы на столбец - это линейная комбинация ее столбцов с коэффициентами, сидящими во втором множителе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы по строками и по столбцам
Сообщение02.04.2024, 03:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Да, и поэтому система для поиска нужных коэффициентов (в нетривиальной нулевой линейной комбинации столбцов) выписывается мгновенно. В виде, удобном для всяких автоматических решателей. Если так и делали — прекрасно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Padawan


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group