Ранг матрицы по строками и по столбцам

[Andrey from Mos]

Здравствуйте, участники форума.

Что-то я запутался с определением ранга матрицы упрощённым способом:
сравниваю уникальность строк и уникальность столбцов (чтобы они не были линейно зависимы). По строкам ранг выходит равным 2, а по стоблцам выходит равным 3.
Матрица такая:

$$\begin{pmatrix} &1 &-1 & 2 \\ &2 &-2 &4 \\ &3 &5 &7 \end{pmatrix}$$

Если идти по строкам, то очевидно, что первая и вторая строки линейно зависимы, а третья с ними не связана. Отсюда ранг 2. А стоблцы все независимы (никакой из столбцов из суммы двух других не получается. И также не получается умножением на число какого-то одного другого столбца). Получаются три независимых столбца, дающих 3-й ранг. А я читал, что ранги по строкам и стобцам должны совпадать. Где же я делаю ошибку?

[Dedekind]

Andrey from Mos

Andrey from Mos в сообщении #1634461 писал(а):

никакой из столбцов из суммы двух других не получается. И также не получается умножением на число какого-то одного другого столбца

Да, но из этого не следует независимость. В общем случае может быть умножение двух столбцов на число и их сложение. В данном случае, как раз, второй столбец является линейной комбинацией первого и третьего. Коэффициенты попробуйте подобрать самостоятельно.

[svv]

Кстати,
$c_1\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}-1\\-2\\\phantom{+}5\end{bmatrix}+c_3\begin{bmatrix}2\\4 \\7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$
— всё равно что
$\begin{bmatrix}1 &-1 & 2 \\2 &-2 &4 \\3 &\phantom{+}5 &7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$

[Andrey from Mos]

to Dedekind:
Спасибо. Нашел коэффициенты -17 и 8 - множители соответственно для первого и третьего столбцов. Как-то сразу не догадался систему составить. Значит, ранг - 2 и все сходится, как по горизонтали, так и по вертикали.

to svv: над вашей информацией завтра подумаю. спасибо

[Andrey from Mos]

to svv: Честно говоря, не понял, зачем вы это написали. Это же сложение трёх векторов - нужно сложить их координаты. Какой смысл вы там заложили?

[ozheredov]

Andrey from Mos в сообщении #1635075 писал(а):

Какой смысл

Произведение матрицы на столбец - это линейная комбинация ее столбцов с коэффициентами, сидящими во втором множителе.

[svv]

Да, и поэтому система для поиска нужных коэффициентов (в нетривиальной нулевой линейной комбинации столбцов) выписывается мгновенно. В виде, удобном для всяких автоматических решателей. Если так и делали — прекрасно.