2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ранг матрицы по строками и по столбцам
Сообщение28.03.2024, 00:33 


05/08/18
149
Москва
Здравствуйте, участники форума.

Что-то я запутался с определением ранга матрицы упрощённым способом:
сравниваю уникальность строк и уникальность столбцов (чтобы они не были линейно зависимы). По строкам ранг выходит равным 2, а по стоблцам выходит равным 3.
Матрица такая:

$$\begin{pmatrix}
 &1  &-1 & 2 \\
 &2  &-2 &4 \\
 &3  &5  &7
\end{pmatrix}$$

Если идти по строкам, то очевидно, что первая и вторая строки линейно зависимы, а третья с ними не связана. Отсюда ранг 2. А стоблцы все независимы (никакой из столбцов из суммы двух других не получается. И также не получается умножением на число какого-то одного другого столбца). Получаются три независимых столбца, дающих 3-й ранг. А я читал, что ранги по строкам и стобцам должны совпадать. Где же я делаю ошибку?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы по строками и по столбцам
Сообщение28.03.2024, 00:54 
Заслуженный участник


23/05/19
1147
Andrey from Mos
Andrey from Mos в сообщении #1634461 писал(а):
никакой из столбцов из суммы двух других не получается. И также не получается умножением на число какого-то одного другого столбца

Да, но из этого не следует независимость. В общем случае может быть умножение двух столбцов на число и их сложение. В данном случае, как раз, второй столбец является линейной комбинацией первого и третьего. Коэффициенты попробуйте подобрать самостоятельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы по строками и по столбцам
Сообщение28.03.2024, 01:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Кстати,
$c_1\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}-1\\-2\\\phantom{+}5\end{bmatrix}+c_3\begin{bmatrix}2\\4 \\7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$
— всё равно что
$\begin{bmatrix}1  &-1 & 2 \\2  &-2 &4 \\3  &\phantom{+}5  &7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы по строками и по столбцам
Сообщение28.03.2024, 03:19 


05/08/18
149
Москва
to Dedekind:
Спасибо. Нашел коэффициенты -17 и 8 - множители соответственно для первого и третьего столбцов. Как-то сразу не догадался систему составить. Значит, ранг - 2 и все сходится, как по горизонтали, так и по вертикали.

to svv: над вашей информацией завтра подумаю. спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы по строками и по столбцам
Сообщение02.04.2024, 01:43 


05/08/18
149
Москва
to svv: Честно говоря, не понял, зачем вы это написали. Это же сложение трёх векторов - нужно сложить их координаты. Какой смысл вы там заложили?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы по строками и по столбцам
Сообщение02.04.2024, 02:56 


10/03/16
4444
Aeroport
Andrey from Mos в сообщении #1635075 писал(а):
Какой смысл


Произведение матрицы на столбец - это линейная комбинация ее столбцов с коэффициентами, сидящими во втором множителе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы по строками и по столбцам
Сообщение02.04.2024, 03:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Да, и поэтому система для поиска нужных коэффициентов (в нетривиальной нулевой линейной комбинации столбцов) выписывается мгновенно. В виде, удобном для всяких автоматических решателей. Если так и делали — прекрасно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group