Импликация и другие логические связки

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1632829 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1632824 писал(а):

"из лжи следует истина" -- ложь

Да откуда Вы всё это берёте?!

Это я сам придумал. Я просто развил идею, которую нашел на одном форуме (я об этом писал в сообщении #1632488"]):

Цитата:

Используя число $500$, мы получаем "если $500$ меньше, чем $10$, тогда оно также меньше, чем $100$".
Это также истинное утверждение в форме «из лжи следует ложь».

Наконец, если мы воспользуемся числом $50$, получаем "если $50$ меньше, чем $10$, то оно также меньше, чем $100$".
Это пример того, что «из лжи следует истина», и это все равно должно быть правдивым утверждением.

Таким образом, причина соглашения "то, что из лжи следует истина -- истина", заключается в том, что оно делает такие утверждения, как $ верными для всех значений $x$, как и следовало ожидать.

Здесь берется истинное утверждение $, и строятся истинные утверждения

«из лжи следует ложь»: "если $500$ меньше, чем $10$, тогда оно также меньше, чем $100$" -- и

«из лжи следует истина»: "если $50$ меньше, чем $10$, то оно также меньше, чем $100$".

А я взял ложное утверждение $ и построил утверждение

«из лжи следует истина»: "$(500<10)\to (500>11)$", --

которое следует считать ложным, если истинность утверждения определять как его истинность в его общем виде (то есть когда вместо конкретных значений $a$ берется $a$).

epros в сообщении #1632829 писал(а):

Нет такого правила:

Vladimir Pliassov в сообщении #1632824 писал(а):

подставим $a$ вместо $500$

Но мне кажется, что в этой идее есть какой-то смысл.

epros в сообщении #1632829 писал(а):

Читайте лучше учебники, а не выдумывайте собственных правил.

Учебники я тоже читаю.

Mikhail_K в сообщении #1632833 писал(а):

Верно, что импликация $(a<10)\,\to\,(a\ngtr 11)$ истинна при любом $a$.

Проводя аналогию, хотелось бы, чтобы и импликация $(a<10)\to (a>11)$ была ложна при любом $a$, тогда и импликация $(500<10)\,\to\,(500>11)$ была бы ложной.

Я понимаю, что эта идея противоречит действующему закону ex falso quodlibet, и не знаю, может ли она иметь практическое значение, но в чем-то она разумна, так ведь?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1632843 писал(а):

но в чем-то она разумна

Разумно, что $(a<10)\,\to\,(a\ngtr 11)$ истинно при любом $a$.
Ложность импликации $(a<10)\,\to\,(a>11)$ при любом $a$ здесь совершенно не нужна (и не справедлива).
Но здесь правильная интуиция нарабатывается с опытом.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1632843 писал(а):

epros в сообщении #1632829 писал(а):

Нет такого правила:

Vladimir Pliassov в сообщении #1632824 писал(а):

подставим $a$ вместо $500$

Но мне кажется, что в этой идее есть какой-то смысл.

Какой-то смысл есть вместо $a$ подставить $500$, А не наоборот.

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1632901 писал(а):

Какой-то смысл есть вместо $a$ подставить $500$, А не наоборот.

Если в формулу $(x<10)\to (x<100)$ ("из истины следует истина") вместо $x$ подставить $500$, получим ее в более конкретном виде: $(500<10)\to (500<100)$, -- в котором она будет представлять собой высказывание типа "из лжи следует ложь",

а если вместо $x$ подставить $50$, получим $(50<10)\to (50<100)$ -- "из лжи следует истина",

причем оба высказывания будут заведомо истинными, поскольку формула $(x<10)\to (x<100)$ истинна, так что заранее известно, что эти высказывания можно использовать в доказательствах (в качестве оснований для выводов)

Если же, наоборот, в высказываниях $(500<10)\to (500<100)$ и $(50<10)\to (50<100)$, о которых мы не знаем, истинны они или ложны, подставить $x$ вместо $500$ и $50$ соответственно, то в обоих случаях получим формулу $(x<10)\to (x<100)$, и таким образом узнаем, что оба эти высказывания истинны (и, значит, их можно использовать в доказательствах).

Mikhail_K в сообщении #1632857 писал(а):

Разумно, что $(a<10)\,\to\,(a\ngtr 11)$ истинно при любом $a$.
Ложность импликации $(a<10)\,\to\,(a>11)$ при любом $a$ здесь совершенно не нужна (и не справедлива).

Почему, как я думаю, следует разделять высказывания типа "из лжи следует истина" на истинные и ложные?

Потому что, например, высказывание $(50<10)\to (50<100)$ ("из лжи следует истина") в общем виде является истинным высказыванием $(x<10)\to (x<100)$ и может использоваться в доказательствах (в качестве основания для вывода),

а высказывание $(500<10)\to (500>100)$ (тоже "из лжи следует истина", но "по-другому") в общем виде является ложным высказыванием $(x<10)\to (x>100)$ и не может использоваться в доказательствах.

Если я не прав, приведите пример, где высказывание $(500<10)\to (500>100)$ (или подобное ему) используется в каком-нибудь доказательстве.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1632934 писал(а):

Если же, наоборот, в высказываниях $(500<10)\to (500<100)$ и $(50<10)\to (50<100)$, о которых мы не знаем, истинны они или ложны, подставить $x$ вместо $500$ и $50$ соответственно

Разве я что-то непонятное сказал?

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1632937 писал(а):

Разве я что-то непонятное сказал?

Нет, я просто показываю, как я это понимаю.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1632934 писал(а):

а высказывание $(500<10)\to (500>100)$ (тоже "из лжи следует истина", но "по-другому") в общем виде

Нет такого понятия "высказывание в общем виде" и математической операции "заменить $500$ на $x$" (во всяком случае, с гарантированно верными результатами).

Вот пример. Верно, что $2+2=2^2$. Но если бы мы в этом равенстве "заменили $2$ на $x$", то получили бы, вообще говоря, неверное равенство $x+x=x^x$. То есть из верного равенства таким образом вполне можно получить неверное.

Стоит ли удивляться, что из верной импликации $(500<10)\,\to\,(500>100)$ путём "замены $500$ на $x$" получилась, вообще говоря, неверная импликация $(x<10)\,\to\,(x>100)$? Просто нет такой корректной операции. Заменять $x$ на $500$ можно, а $500$ на $x$ - в общем случае нельзя.

С другой стороны, если мы знаем, например, что $x\cdot x=x^2$ для любого $x$, то мы уже можем сюда подставлять вместо $x$ что захотим. И когда перед нами возник вопрос об истинности импликации $(500<10)\,\to\,(500<11)$, то мы сначала заметили, что импликация $(x<10)\,\to\,(x<11)$ верна для любых $x$, а потом заменили там $x$ на $500$ и сделали вывод, что импликация $(500<10)\,\to\,(500<11)$ тоже верна. То есть даже если мы в уме и заменяли $500$ на $x$, то только в уме и только для того, чтобы поймать какую-нибудь идею; в итоговом рассуждении никакой замены $500$ на $x$ быть не должно.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1632939 писал(а):

epros в сообщении #1632937 писал(а):

Разве я что-то непонятное сказал?

Нет, я просто показываю, как я это понимаю.

А я уже вроде бы сказал, что Вы неправильно понимаете. Если Вы используете в высказывании предметные переменные, значит прибегаете к логике первого порядка. Вот здесь написано, что в логике первого порядка на свободную переменную можно ставить квантор всеобщности (правило обобщения), а стоящую под квантором переменную можно заменять на терм (там это названо "система логических аксиом логики первого порядка"). Константа - это тоже терм, поэтому замена $x$ на $500$ правомерна. Но нет такого правила, чтобы заменять константу на переменную.

[Vladimir Pliassov]

1.

epros в сообщении #1633012 писал(а):

А я уже вроде бы сказал, что Вы неправильно понимаете. Если Вы используете в высказывании предметные переменные, значит прибегаете к логике первого порядка. Вот здесь написано, что в логике первого порядка на свободную переменную можно ставить квантор всеобщности (правило обобщения), а стоящую под квантором переменную можно заменять на терм (там это названо "система логических аксиом логики первого порядка"). Константа - это тоже терм, поэтому замена $x$ на $500$ правомерна. Но нет такого правила, чтобы заменять константу на переменную.

Я только теперь понял, что Вы имели в виду здесь:

epros в сообщении #1632901 писал(а):

Какой-то смысл есть вместо $a$ подставить $500$, А не наоборот.

"Обратная замена недопустима," нет такого правила, чтобы она была. Но странно, что нет такого правила -- для некоторых случаев.

Mikhail_K в сообщении #1632953 писал(а):

Вот пример. Верно, что $2+2=2^2$. Но если бы мы в этом равенстве "заменили $2$ на $x$", то получили бы, вообще говоря, неверное равенство $x+x=x^x$. То есть из верного равенства таким образом вполне можно получить неверное.

Да, конечно.

Mikhail_K в сообщении #1632953 писал(а):

С другой стороны, если мы знаем, например, что $x\cdot x=x^2$ для любого $x$, то мы уже можем сюда подставлять вместо $x$ что захотим.

Но вот здесь, по-моему, можно найти аргумент в пользу обратной замены.

Вместо выражения $0^2, 1^2, 2^2, 3^2 \ldots$ можно взять выражение $x^2$, то есть вместо каждого из чисел $0, 1, 2, 3, \ldots$ подставить $x$.

То есть иногда -- в простых случаях вроде $0^2, 1^2, 2^2, 3^2 \ldots$ -- обратная замена возможна, и, по-моему, импликация это такой -- простой -- случай, когда она возможна.

И потому импликация может представать в более или менее общем, а также в конкретном виде, например:

$(x<a)\to (x<b)$ при $a<b$ -- в более общем виде,

$(x<10)\to (x<100)$ -- в менее общем виде,

$(5<10)\to (5<100)$ -- в конкретном виде.

Так что мне по-прежнему кажется, что можно взять импликацию в конкретном виде, обратной заменой привести ее к (более или менее) общему виду и увидеть, является она в этом виде истинным или ложным высказыванием. Если в общем виде она является истинным высказыванием, то ее можно использовать в доказательствах в ее конкретном виде, а если в общем виде она является ложным высказыванием, то нельзя.

Я имею в виду, что в случае, когда условие импликации $(x<10)\to (x<100)$ выполнено (то есть для всех $x<10$), она представляет собой истинное высказывание, и что в случае, когда условие импликации $(x<10)\to (x>100)$ выполнено (то есть для всех $x<10$), она представляет собой ложное высказывание.

2.

Mikhail_K в сообщении #1632953 писал(а):

И когда перед нами возник вопрос об истинности импликации $(500<10)\,\to\,(500<11)$, то мы сначала заметили, что импликация $(x<10)\,\to\,(x<11)$ верна для любых $x$, а потом заменили там $x$ на $500$ и сделали вывод, что импликация $(500<10)\,\to\,(500<11)$ тоже верна.

То есть мы сначала по интуиции выдвинули гипотезу, что -- как это я называю, -- общим видом импликации $(500<10)\,\to\,(500<11)$ будет $(x<10)\,\to\,(x<11)$, затем проверили эту гипотезу, подставив $500$ вместо $x$. Но нельзя ли сразу, не выдвигая гипотезы, подставить $x$ вместо $500$? Я думаю, можно, потому что, по-моему, не может быть, чтобы проверка такой гипотезы не увенчалась успехом (так как это очень простой случай), так что ее можно и не проводить (а просто подставить $x$ вместо $500$).

Mikhail_K в сообщении #1632953 писал(а):

мы сначала заметили, что импликация $(x<10)\,\to\,(x<11)$ верна для любых $x$

Вы имеете в виду, что мы заметили, что при $x<10\;\;\;\; (x<10)\to (x<11)$ это несомненно истинное утверждение типа "из истины следует истина", а при $x\nless 10$ это импликация с ложной посылкой, которая по принятым определениям является истинной? Именно по принятым определениям, а иначе как можно заметить, что при $x\nless 10$ это истинное утверждение? По-моему, никак.

3.

С чего вообще люди взяли, что импликация типа "из лжи следует ложь" и импликация типа "из лжи следует истина" это истинные высказывания? По-моему, они не истинные и не ложные, а неопределенные.

Импликация это либо истинное, либо ложное высказывание, когда условие (посылка) выполнено/может быть выполнено -- и тогда это либо высказывание типа "из истины следует истина", либо, соответственно, высказывание типа "из истины следует ложь", -- а когда условие не выполнено/не может быть выполнено, импликация это неопределенное высказывание -- и тогда это либо высказывание типа "из лжи следует истина", либо высказывание типа "из лжи следует ложь".

1). Например, для импликации $(x<10)\to (x<100)$, если $x<10$, то $x<100$, а если $x\nless 10$, то может быть как $x<100$, так и $x\nless 100$:

$(5<10)\to (5<100)$ -- "из истины следует истина" -- истинное высказывание;

$(50<10)\to (50<100)$ -- "из лжи следует истина" -- неопределенное высказывание;

$(500<10)\to (500<100)$ -- "из лжи следует ложь" -- неопределенное высказывание.

2). А для импликации $(x<10)\to (x>100)$, если $x<10$, то $x\ngtr 100$, а если $x\nless 10$, то может быть как $x\ngtr 100$, так и $x>100$:

$(5<10)\to (5>100)$ -- "из истины следует ложь" -- ложное высказывание;

$(50<10)\to (50>100)$ -- "из лжи следует ложь" -- неопределенное высказывание;

$(500<10)\to (500>100)$ -- "из лжи следует истина" -- неопределенное высказывание.

4.

Пусть мы имеем множества $A, B, C$, и $B\subset A\subset C$, причем $A\ne C$.

Возьмем $B=\{0, 1, 2, \ldots , 9\}$, $A=\{0, 1, 2, \ldots , 99\}$, $C=\mathbb N=\{0, 1, 2, \ldots \}$.

Тогда импликация $(x<10)\to (x<100)$ запишется как $(x\in B)\to (x\in A)$, а импликация $(x<10)\to (x>100)$ -- как $(x\in B)\to (x\notin A)$.

И как я думаю, при $B\subset A$ импликация $(x\in B)\to (x\in A)$ -- как истинное утверждение при выполненном условии $x\in B$ -- используется в доказательствах (в качестве оснований для выводов), а импликация $(x\in B)\to (x\notin A)$ -- как ложное утверждение при выполненном условии $x\in B$ -- нет.

Например, доказательство того, что $\varnothing\subset A$, основывается на импликации $x\in \varnothing \to x\in A$ (здесь $B= \varnothing$).

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1633071 писал(а):

Но нельзя ли сразу, не выдвигая гипотезы, подставить $x$ вместо $500$?

Нельзя. Всегда будет опасность ошибиться.

Vladimir Pliassov в сообщении #1633071 писал(а):

Вы имеете в виду, что мы заметили, что при $x<10\;\;\;\; (x<10)\to (x<11)$ это несомненно истинное утверждение типа "из истины следует истина", а при $x\nless 10$ это импликация с ложной посылкой, которая по принятым определениям является истинной? Именно по принятым определениям, а иначе как можно заметить, что при $x\nless 10$ это истинное утверждение? По-моему, никак.

Чтобы доказать импликацию $A\to B$, достаточно построить логическую цепочку между утверждениями $A$ и $B$.

Например так: пусть $x<10$, но мы также знаем, что $10<11$, а также что $(a<b$ и $b<c)\,\to\,a<c$ при любых $a,b,c$; отсюда $x<11$. Итак, нам удалось в предположении, что $x<10$, доказать что $x<11$. Значит, верна импликация $(x<10)\,\to\,(x<11)$.

В общем-то, это примерно то же что и Вы написали, просто вспоминать про случай $x\geq 10$ тут не нужно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1633071 писал(а):

С чего вообще люди взяли, что импликация типа "из лжи следует ложь" и импликация типа "из лжи следует истина" это истинные высказывания?

Это удобное соглашение, без него правила логики становятся сложнее и запутаннее. Примерно такого же характера, как то, что $a^0=1$, а $a^{-1}=1/a$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1633071 писал(а):

По-моему, они не истинные и не ложные, а неопределенные.

Если считать, что из лжи следует что угодно, можно утверждать, что импликация $(x<10)\,\to\,(x<11)$ верна при любом $x$. И вообще любая импликация вида $P(x)\,\to\,Q(x)$, если мы смогли в предположении, что верно $P(x)$, доказать $Q(x)$. Это именно то, что нужно в математических доказательствах. Если же импликацию понимать как предлагаете Вы, может это будет более интуитивно, но пользоваться такой логикой будет значительно сложнее, придётся везде делать оговорки "верно или неопределённо".

Будут проблемы со многими определениями. Например, определение подмножества придётся модифицировать, и всё равно будет сложно сделать это так, чтобы пустое множество оставалось подмножеством любого множества.

А вот мой любимый пример. Открытое множество в метрическом пространстве можно определить двумя равносильными способами: 1) это множество, совпадающее со своей внутренностью (при этом внутренность определяется как разность множества и его границы, граница определяется через точки прикосновения, а они через метрику); 2) это такое множество $M$, что из $x\in M$ следует (здесь импликация), что некоторая окрестность точки $x$ есть подмножество $M$.
Согласно первому определению очевидно, что пустое множество открыто (внутренность пустого множества не может быть ничем другим, кроме пустого множества). Согласно второму определению, это так, только если понимать импликацию как это принято.

И таких примеров на самом деле много. Опыт математических доказательств показывает, что в них наиболее удобно то определение импликации, какое есть, а любое другое вносит трудности и недоразумения.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1633071 писал(а):

Но странно, что нет такого правила -- для некоторых случаев.

А с чего бы ему быть? Замена переменной на константу - это переход от общего к частному. Из истинного общего утверждения конечно же вытекает частное. А Вы предлагаете из истинного частного утверждения выводить общее. Типа: из "У меня сегодня день рождения" выводить "У всех сегодня дни рождения".

Vladimir Pliassov в сообщении #1633071 писал(а):

С чего вообще люди взяли, что импликация типа "из лжи следует ложь" и импликация типа "из лжи следует истина" это истинные высказывания? По-моему, они не истинные и не ложные, а неопределенные.

Если Вам интересно, откуда взялись аксиомы логики, то я Вам ранее указывал в каком направлении следует смотреть вместо того, чтобы перебирать варианты значений истинности.

1) Если мы хотим, чтобы запись $A \to B$ хоть в какой-то мере означала выводимость $B$ из $A$, то у нас в логике должна быть применима дедукция. А если у нас применима дедукция, то мы, как минимум, можем вывести $A \to (B \to A)$ (я ранее приводил вывод).

2) Подстановкой в эту тавтологию вместо $A$ тождественной лжи $\bot$ мы получаем утверждение, что из ложного высказывания следует любое отрицание: $\bot \to \neg B$.

3) Далее мы можем подставить в эту тавтологию $\neg A$ вместо $B$ и получим $\bot \to \neg \neg A$.

4) А поскольку в классической логике есть закон снятия двойного отрицания $\neg \neg A \to A$, отсюда следует $\bot \to A$ - тот самый ex falso quodlibet, о происхождении которого Вы спрашиваете.

[Vladimir Pliassov]

1.

Я понял!

Истинная импликация это такая, которая при соблюдении условия является истинным высказыванием, а ложная импликация это такая, которая при соблюдении условия является ложным высказыванием.

Например, импликация $(x<10)\to (x<100)$ -- истинная, а импликация $(x<10)\to (x>100)$ -- ложная.

Если условие не соблюдается, то есть если импликация имеет ложную посылку, то как истинная, так и ложная импликация представляет собой неопределенное высказывание (см. сообщение #1633071 п.3), но при этом истинная импликация остается истинной, а ложная -- ложной.

То есть истинная импликация $(x<10)\to (x<100)$ может принимать конкретные выражения, скажем,

$(5<10)\to (5<100)$,

$(50<10)\to (50<100)$ или

$(500<10)\to (500<100)$,

но любое из этих выражений представляет собой импликацию $(x<10)\to (x<100)$, которая является истинной.

Так же и импликация $(x<10)\to (x>100)$ может принимать конкретные выражения, скажем,

$(5<10)\to (5>100)$,

$(50<10)\to (50>100)$ или

$(500<10)\to (500>100)$,

но любое из этих выражений представляет собой импликацию $(x<10)\to (x>100)$, которая является ложной.

При таком определении истинности и ложности импликации не придется

Mikhail_K в сообщении #1633072 писал(а):

везде делать оговорки "верно или неопределённо".

2.

Что же касается импликации при несоблюдении условия (то есть при наличии у нее ложной посылки), то я не согласен, что признаком ее истинности является то, что она представляет собой высказывание типа "из лжи следует ложь" или типа "из лжи следует истина", потому что при несоблюдении условия не только истинная, но и ложная импликация представляет собой либо высказывание типа "из лжи следует ложь", либо высказывание типа "из лжи следует истина" (см. сообщение #1633071 п.3).

Этот факт либо не замечается, либо игнорируется, так что, когда говорят:

Цитата:

импликация с ложной посылкой истинна

Куратовский, Мостовский https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1970ru.pdf, стр. 18, 19

то имеют в виду: "истинная импликация с ложной посылкой истинна", -- что является тавтологией в бытовом смысле ("масло масляное").

Если здесь в самом деле имеется в виду: "любая импликация с ложной посылкой истинна", -- то я предложу при доказательстве теоремы $ вместо истинной импликации $x\in \varnothing\to x\in A$ использовать ложную импликацию $x\in \varnothing\to x\notin A$ в качестве истинной, и тогда ошибочно будет "доказано" противоположное, то есть $.

Чтобы не совершить такой ошибки, надо использовать импликацию $x\in \varnothing\to x\notin A$ не в качестве истинной, а в качестве ложной (какой она и является). Тогда, поскольку импликация $x\in \varnothing\to x\notin A$ ложная, импликация $x\in \varnothing\to x\in A$ истинная, а отсюда следует, что $\varnothing \subset A$. Или можно сразу взять импликацию $x\in \varnothing\to x\in A$, из которой следует $\varnothing \subset A$.

[Так же как импликация $x\in \varnothing\to x\in A$ истинна, потому что она истинна и при выполнении, и при невыполнении условия $x\in \varnothing$, импликация $x\in \varnothing\to x\notin A$ ложна, потому что она ложна и при выполнении, и при невыполнении условия $x\in \varnothing$ (см. выше).]

Между прочим, я увидел, что использую в доказательстве ложную импликацию, а сам говорил, что в доказательствах она не может использоваться, выходит, ошибался.

3.

Однако на чем базируется наша уверенность, что $x\in \varnothing\to x\in A$ это истинная, а $x\in \varnothing\to x\notin A$ ложная импликация, если не основываться на том, что $x\in \varnothing\to x\in A$ это импликация с ложной посылкой? (По-моему, уже показано, что это здесь не служит основанием.)

На том, что $\varnothing \subset A$ (а на чем еще?), то есть мы имеем порочный круг: исходя из того, что $\varnothing \subset A$, доказываем, что $\varnothing \subset A$.

Выходит, что $\varnothing \subset A$ не доказано.

4.

epros в сообщении #1633101 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1633071 писал(а):

Но странно, что нет такого правила -- для некоторых случаев.

А с чего бы ему быть? Замена переменной на константу - это переход от общего к частному. Из истинного общего утверждения конечно же вытекает частное. А Вы предлагаете из истинного частного утверждения выводить общее. Типа: из "У меня сегодня день рождения" выводить "У всех сегодня дни рождения".

Mikhail_K в сообщении #1633072 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1633071 писал(а):

Но нельзя ли сразу, не выдвигая гипотезы, подставить $x$ вместо $500$?

Нельзя. Всегда будет опасность ошибиться.

Понятно, спасибо!

Нельзя в импликации $(500<10)\to (500<100)$ просто подставить $x$ вместо $500$, надо сначала выдвинуть гипотезу, что общим видом импликации является $(x<10)\to (x<100)$, а потом, подставив $500$ вместо $x$, убедиться, что получилась исходная импликация $(500<10)\to (500<100)$, которая истинна, так как получилась из истинной импликации $(x<10)\to (x<100)$. Это, конечно, смешно и дополнительная работа (хотя и небольшая), но так соблюдается правило "подставлять конкретное значение вместо переменной, но не наоборот". Правильно?

5.

epros в сообщении #1633101 писал(а):

Если Вам интересно, откуда взялись аксиомы логики, то я Вам ранее указывал в каком направлении следует смотреть вместо того, чтобы перебирать варианты значений истинности.

1) Если мы хотим, чтобы запись $A \to B$ хоть в какой-то мере означала выводимость $B$ из $A$, то у нас в логике должна быть применима дедукция. А если у нас применима дедукция, то мы, как минимум, можем вывести $A \to (B \to A)$ (я ранее приводил вывод).

2) Подстановкой в эту тавтологию вместо $A$ тождественной лжи $\bot$ мы получаем утверждение, что из ложного высказывания следует любое отрицание: $\bot \to \neg B$.

3) Далее мы можем подставить в эту тавтологию $\neg A$ вместо $B$ и получим $\bot \to \neg \neg A$.

4) А поскольку в классической логике есть закон снятия двойного отрицания $\neg \neg A \to A$, отсюда следует $\bot \to A$ - тот самый ex falso quodlibet, о происхождении которого Вы спрашиваете.

Спасибо! Я и хочу этим заняться и даже уже начал, но недалеко прошел, потому что меня держит импликация. Вот разберусь с ней (насколько возможно без дедукции) и тогда возьмусь за дедукцию и за логику высказываний -- это ведь первая из логик, с которой надо познакомиться?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1633142 писал(а):

Истинная импликация это такая, которая при соблюдении условия является истинным высказыванием, а ложная импликация это такая, которая при соблюдении условия является ложным высказыванием.

Типа того. Только не "которая при соблюдении условия является истинным высказыванием", а "у которой вывод при соблюдении условия является истинным высказыванием".

Vladimir Pliassov в сообщении #1633142 писал(а):

Что же касается импликации при несоблюдении условия (то есть при наличии у нее ложной посылки), то я не согласен, что признаком ее истинности является то, что она представляет собой высказывание типа "из лжи следует ложь" или типа "из лжи следует истина", потому что при несоблюдении условия не только истинная, но и ложная импликация представляет собой либо высказывание типа "из лжи следует ложь", либо высказывание типа "из лжи следует истина".

Ошибаетесь. Последнее предложение я не понял. При несоблюдении условия импликация автоматически истинна. epros Вам выше объяснил (со ссылкой на понятие дедукции), почему так разумно считать. Поразбирайтесь.

Vladimir Pliassov в сообщении #1633142 писал(а):

Если здесь в самом деле имеется в виду: "любая импликация с ложной посылкой истинна"

Да, именно это и имеется в виду.

Vladimir Pliassov в сообщении #1633142 писал(а):

то я предложу <...> использовать ложную импликацию $x\in \varnothing\to x\notin A$ в качестве истинной, и тогда ошибочно будет "доказано" противоположное, то есть $\varnothing\not\subset A$

Ошибаетесь.
Во-первых, импликация $x\in \varnothing\to x\notin A$ истинна. Факт.
Во-вторых, из $x\in \varnothing\to x\notin A$ не следует, что $\varnothing\not\subset A$.
Вообще, $A\subset B$ означает, что $\forall x,\,x\in A\,\to\,x\in B$, но $A\not\subset B$ вовсе не равносильно тому, что $\forall x,\,x\in A\,\to\,x\notin B$.
Вы можете это легко увидеть. Возьмите два множества $A$ и $B$, частично пересекающихся друг с другом. Тогда $A\not\subset B$, однако же импликация $x\in A\,\to\,x\notin B$ не справедлива для точек $x$, лежащих в пересечении множеств $A$ и $B$.
Поэтому Ваше "доказательство" не работает, и не приводит ни к какому противоречию.

Vladimir Pliassov в сообщении #1633142 писал(а):

Нельзя в импликации $(500<10)\to (500<100)$ просто подставить $x$ вместо $500$, надо сначала выдвинуть гипотезу, что общим видом импликации является $(x<10)\to (x<100)$, а потом...

... проверив , что эта гипотеза справедлива,

Vladimir Pliassov в сообщении #1633142 писал(а):

подставив $500$ вместо $x$, убедиться, что получилась исходная импликация $(500<10)\to (500<100)$, которая истинна, так как получилась из истинной импликации $(x<10)\to (x<100)$. Это, конечно, смешно и дополнительная работа (хотя и небольшая), но так соблюдается правило "подставлять конкретное значение вместо переменной, но не наоборот". Правильно?

Да, типа того.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1633142 писал(а):

$(5<10)\to (5>100)$,

$(50<10)\to (50>100)$ или

$(500<10)\to (500>100)$,

но любое из этих выражений представляет собой импликацию $(x<10)\to (x>100)$, которая является ложной.

Что бы это значило? Вторая и третья импликации - истинные, как бы Вы ни считали, что они кого-то "представляют".

Vladimir Pliassov в сообщении #1633142 писал(а):

Если здесь в самом деле имеется в виду: "любая импликация с ложной посылкой истинна",

В самом деле имеется в виду.

Vladimir Pliassov в сообщении #1633142 писал(а):

Нельзя в импликации $(500<10)\to (500<100)$ просто подставить $x$ вместо $500$, надо сначала выдвинуть гипотезу, что общим видом импликации является $(x<10)\to (x<100)$, а потом, подставив $500$ вместо $x$, убедиться, что получилась исходная импликация $(500<10)\to (500<100)$, которая истинна, так как получилась из истинной импликации $(x<10)\to (x<100)$.

Что вся эта фигня значит? Утверждение $(x<10)\to (x<100)$ истинно, потому что истинно при любом $x$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1633142 писал(а):

меня держит импликация. Вот разберусь с ней

Что Вас в ней держит и с чем именно Вы собрались разбираться? Импликация - это просто логическая связка, "смысл" которой определяется теми аксиомами, которые её определяют. Не будет определяющих импликацию аксиом - не с чем будет и "разбираться". Ваши рассуждения о вариантах логических значения абсолютно беспредметны, потому что сам факт того, что у утверждений бывают какие-то "логические значения", является выводом из аксиом.

Например, классическую импликацию можно определить тремя аксиомами:
1) $A \to (B \to A)$ - читается как: "Дополнительное предположение не отменяет истинность".
2) $(A \to B) \to ((B \to C) \to (A \to C))$ - читается как: "Логическое следование транзитивно".
3) $((A \to B) \to A) \to A$ - закон Пирса.

В итоге получим "импликативную логику", в которой нет символов отрицания, конъюнкции и дизъюнкции, а только одна импликация. Но свойства этой импликации уже соответствуют классической, т.е. ей можно приписать одно из двух логических значений, которое ложно только при истинности предпосылки и ложности следствия.

Ранее по теме я предлагал другой способ определения импликации - через правило modus ponens и дедукцию. Там похитрее, из этого определения не следует ни двузначность логики, ни даже ex falso quodlibet. Но первые две из указанных выше трёх аксиом уже можно вывести с помощью дедукции. Третья аксиома (закон Пирса) - не выводится.

[Mikhail_K]

Mikhail_K в сообщении #1633150 писал(а):

Вообще, $A\subset B$ означает, что $\forall x,\,x\in A\,\to\,x\in B$, но $A\not\subset B$ вовсе не равносильно тому, что $\forall x,\,x\in A\,\to\,x\notin B$.

Дополню: в свою очередь, это связано с тем, что утверждение $\forall x,\,x\in A\,\to\,x\notin B$ вовсе не является отрицанием для утверждения $\forall x,\,x\in A\,\to\,x\in B$.