Проблемы с пониманием непериодической десятичной дроби (НДД)

[Neznajka_]

Приветствую.
Мой мат-уровень примерно на уровне 9-го класса российской школы.
В разных источниках встречаю упоминание возможности перевода иррационального числа в НДД.
Где-то пишут именно про возможность записи иррационального числа в виде НДД.
Это меня смущает, как и само понятие "непериодическая десятичная дробь".

Для меня это некое "гипотетическое" "число", которое может быть записано на бесконечном листе бумаги за бесконечное время.
А те НДД, которые записываются на бумаге - это десятичные дроби (рациональные числа), представляющие из себя результат перевода иррационального числа в дес. дробь с точностью до определенного разряда.
Но пока что нигде в интернете созвучных мнений я не видел, поэтому чувствую своё представление несколько маргинальным. В учебниках, по которым я учился (алгебра Макарычева), по этой, так сказать, проблематике ничего не говорилось.
Поэтому обращаюсь сюда к "старшим товарищам" - объясните пожалуйста соответственно моему уровню, что значит "перевести иррациональное число в непериодическую десятичную дробь". И если НДД является числом, то к какому множеству чисел оно принадлежит?...
Заранее спасибо. С уважением.

[talash]

Neznajka_ в сообщении #1631615 писал(а):

Где-то пишут именно про возможность записи иррационального числа в виде НДД.
Это меня смущает, как и само понятие "непериодическая десятичная дробь".

А возможность записи бесконечной периодической дроби Вас не смущает?

[Neznajka_]

talash в сообщении #1631616 писал(а):

Neznajka_ в сообщении #1631615 писал(а):

Где-то пишут именно про возможность записи иррационального числа в виде НДД.
Это меня смущает, как и само понятие "непериодическая десятичная дробь".

А возможность записи бесконечной периодической дроби Вас не смущает?

Не смущает. Я могу перевести обыкновенную дробь в периодическую, и назад. Числовое значение от этого никак не изменится.

[Andrey A]

Neznajka_ в сообщении #1631615 писал(а):

Для меня это некое "гипотетическое" "число", которое может быть записано на бесконечном листе бумаги за бесконечное время.

Если понятие "бесконечность" не претит, сошло бы за определение, но ведь и периодическую дробь можно выписывать сколь угодно долго. Знать бы, к примеру, что исследуемое число есть рациональный корень уравнения — взяли бы период в скобки, но находится сей корень в нашем воображении. Если же это данные сверхточных астрономических наблюдений, то получи хоть $20$ периодов, можно ли быть уверенным в следующем знаке? Нет, нельзя. Зато число расположено в реальности. Бывают и чудеса С.Лем "Глас Господа". Тут число заключено в литературе. Что-то слишком "правильные" Ваши вопросы для $9$-го класса ))

[talash]

Neznajka_ в сообщении #1631618 писал(а):

Не смущает. Я могу перевести обыкновенную дробь в периодическую, и назад. Числовое значение от этого никак не изменится.

Аналогично, Вы можете перевести НДД в тот алгоритм или выражение из которого получали цифры для записи.

[мат-ламер]

Neznajka_ в сообщении #1631615 писал(а):

Поэтому обращаюсь сюда к "старшим товарищам" - объясните пожалуйста соответственно моему уровню, что значит "перевести иррациональное число в непериодическую десятичную дробь".

То, что у вас взято в кавычки, вы где-то прочитали или сами придумали? Для начала смущает слово "перевести". Оно лично ваше?

[Gevin Magnus]

Neznajka_ в сообщении #1631615 писал(а):

В разных источниках встречаю упоминание возможности перевода иррационального числа в НДД.

Это немного бессмысленно. Можно говорить о переводе одного представления (формы записи) к другому, а через НДД можно определить любое иррациональное число

Neznajka_ в сообщении #1631615 писал(а):

объясните пожалуйста соответственно моему уровню, что значит "перевести иррациональное число в непериодическую десятичную дробь". И

Бессмысленный набор слов

Neznajka_ в сообщении #1631615 писал(а):

И если НДД является числом, то к какому множеству чисел оно принадлежит?...

Иррациональных

Neznajka_ в сообщении #1631615 писал(а):

С уважением

Забыли имя отчество

[StepV]

Neznajka_ в сообщении #1631615 писал(а):

Мой мат-уровень примерно на уровне 9-го класса российской школы.

В 1966 году вышла очень хорошая книжка Нивен "Числа иррациональные и рациональные". Книжка ориентирована на учащихся старших классов школы. Очень легко и понятно объяснены ваши вопросы. Эту книгу легко найти в интернете.

[Евгений Машеров]

Neznajka_ в сообщении #1631615 писал(а):

что значит "перевести иррациональное число в непериодическую десятичную дробь".

Я бы ответил: "Указать алгоритм, позволяющий выписать десятичную дробь, отличающуюся от значения иррационального числа на заданную сколь угодно малую величину"

[Neznajka_]

Спасибо еще раз всем отписавшимся в теме!
Благодаря человеку, вызвавшемуся объяснить мне мои вопросы в ЛС, а также благодаря вашим сообщениям в теме - вроде бы я узнал/понял, что хотел.
Отдельное спасибо StepV за наводку на хорошую книжку! Скачал, кратко посмотрел о чем она - вроде очень интересно, и вроде непонятного мне мат-аппарата нету.
Всем добра!

[talash]

StepV в сообщении #1631667 писал(а):

Нивен "Числа иррациональные и рациональные

Глянул книгу. Вот как он оригинально обходит проблему неоднозначного представления конечного числа в виде десятичной дроби. Уславливается использовать только бесконечные дроби:

Цитата:

Кроме того, поскольку каждая конечная десятичная дробь (или каждая дробь вида 0,43000... с бесконечной последовательностью нулей) может так же быть записана, как истинно бесконечная периодическая десятичная дробь, то мы можем принять соглашение (действующее до конца этого параграфа) записывать все рациональные числа в виде бесконечных периодических десятичных дробей. (В соответствии со сделанным соглашением 0,43, например, будет записываться как 0,42999...; это может показаться нелепым, однако упрощает проводимое ниже рассуждение.)

Интересное пишет про "математическое доказательство".

Цитата:

«Природа и смысл математического доказательства!» Невозможно дать здесь точное описание того, что составляет доказательство, и это является одним из наиболее загадочных и отпугивающих факторов для новичка в математике. Если природу доказательства нельзя детально описать или сформулировать, то как можно кого-нибудь ей научить? Пользуясь упрощенной аналогией, можно сказать, что ее изучают таким же образом, каким ребенок учится опознавать цвета. Он наблюдает, как другие опознают зеленые предметы, синие предметы и т. д., и затем подражает тому, что он видел. Сначала могут быть неудачи, обусловленные недостаточной ориентировкой в категориях и образцах, но в конце концов обучающийся овладевает искусством. Также обстоит дело и с загадкой математического доказательства. Некоторые из наших рассуждений предназначены дать образцы техники доказательства и тем самым познакомить читателя с понятиями и методами доказательства. Таким образом, хотя мы и не в состоянии дать никакого надежного способа определять, что является, а что не является правильным доказательством, мы все же приводим несколько соображений на этот счет и надеемся, что читатель, еще не дойдя до конца этой книги, не только сможет отличать правильные доказательства, но и будет иметь удовольствие построить некоторые из них самостоятельно.

[lazarius]

talash в сообщении #1631815 писал(а):

он оригинально обходит проблему неоднозначного представления конечного числа в виде десятичной дроби.

Я припоминаю что именно так нам вводил вещественные числа Михаил Иванович Шабунин. То есть вещественное число - бесконечная десятичная дробь. Далее показывал взаимно однозначное соответствие между множеством рациональных чисел и множеством периодичных десятичных дробей.

Я сейчас не вспомню как делал он, но, например, можно вот так:

$\displaystyle q = q_1 + \frac{p}{10^m (10^n - 1)}$

Здесь $q_1$ - конечная непериодическая часть, $p$ - период, $m$ - число знаков $q_1$ после запятой, $n$ - число знаков в $p$.

$1.2(3) = 1.2 + 3/90 = 6/5 + 1/30 = 37/30$
$0.42(9) = 0.42 + 9/900 = 0.43$

И я не вижу никакой ереси в том чтобы сказать что 0.42(9) суть то же что и 0.43(0).

[talash]

lazarius в сообщении #1631833 писал(а):

И я не вижу никакой ереси в том чтобы сказать что 0.42(9) суть то же что и 0.43(0).

Эта неоднозначность мешает. Смотрите у Д.Граве. Он там делает по-другому, не использует десятичных дробей с периодом 9.

[iifat]

talash в сообщении #1631893 писал(а):

Эта неоднозначность мешает

Да где неоднозначность-то? Числа 0.43 не существует. Существует только одно число: 0.42(9) — и никакой неоднозначности.
Вы ещё придеритесь к неоднозначности $0.2=\frac15$

[talash]

Andrey A в сообщении #1631622 писал(а):

Если понятие "бесконечность" не претит, сошло бы за определение, но ведь и периодическую дробь можно выписывать сколь угодно долго. Знать бы, к примеру, что исследуемое число есть рациональный корень уравнения — взяли бы период в скобки, но находится сей корень в нашем воображении. Если же это данные сверхточных астрономических наблюдений, то получи хоть $20$ периодов, можно ли быть уверенным в следующем знаке? Нет, нельзя. Зато число расположено в реальности.

Навело на мысль. В реальном мире числа могут получаться от измерений. А есть ли в идеальном математическом мире аналогичное действие? Идеальные объекты, расстояния между ними, их размеры - есть, а измерения?

-- 06.03.2024, 08:42 --

iifat в сообщении #1631897 писал(а):

Да где неоднозначность-то? Числа 0.43 не существует. Существует только одно число: 0.42(9) — и никакой неоднозначности.
Вы ещё придеритесь к неоднозначности $0.2=\frac15$

Это один из вариантов, чтобы избавиться от неоднозначности. Не очень удачный по моему мнению, потому что мы ещё и от натуральных чисел избавляемся.