Перегибание на плоскости и подобная реализация на сфере

[e7e5]

Вроде бы простой вопрос, но запутался.
Пусть перегибаем прямоугольник через точку пересечения диагоналей. Как сгибать и находить новое положение вершин, вроде понятно. А вот как реализовать такой процесс для сферического прямоугольника?
Понимаю, что согнуть такой сферический прямоугольник без деформации не получится. А какие могут быть преобразования для получения результата?
Например, может быть получить зеркальное отражение той, части, которая "загибается", а потом ее "наложить" на диагональ сферического прямоугольника, по которой как бы "перегибали"?
Есть ли какие-то идеи?

Если представить, что сферический прямоугольник из эластичного материала, то сгибаемую часть начинаем перегибать, она деформируется, далее выворачиваем "наизнанку и накладываем на недеформированную часть.
Как это все можно описать наиболее простым способом?

[dgwuqtj]

А что такое сферический прямоугольник? Четырёхугольник с таким же набором симметрий?

Если вам это нужно для каких-то повседневных приложений, то, возможно, и без деформаций можно сгибать (с сохранением внутренней метрики). А если это из области элементарной сферической геометрии, то про деформации, метрики и сгибания можно забыть и работать с движениями сферы, в данном случае с отражениями относительно больших окружностей.

[e7e5]

dgwuqtj в сообщении #1631051 писал(а):

А что такое сферический прямоугольник? Четырёхугольник с таким же набором симметрий?

Если вам это нужно для каких-то повседневных приложений, то, возможно, и без деформаций можно сгибать (с сохранением внутренней метрики). А если это из области элементарной сферической геометрии, то про деформации, метрики и сгибания можно забыть и работать с движениями сферы, в данном случае с отражениями относительно больших окружностей.

Мне надо посчитать площадь, которая получается "при сгибании" сферического прямоугольника (площадь соприкасающихся частей). Не понимаю, как находить конечное положение вершин прямоугольника.

[dgwuqtj]

Отражение относительно большой окружности очень легко находить в декартовых координатах. И вершины вам не нужны, нужны только уравнения сторон (ну, или их поляры) пересечения с учётом порядка обхода и ориентации, потому что площадь считается через углы.

[e7e5]

dgwuqtj в сообщении #1631055 писал(а):

Отражение относительно большой окружности очень легко находить в декартовых координатах. И вершины вам не нужны, нужны только уравнения сторон (ну, или их поляры) пересечения с учётом порядка обхода и ориентации, потому что площадь считается через углы.

Пусть $a$, $b$ стороны сферического прямоугольника, обозначим в нем внутренний угол через $\theta$.
Тогда площадь $S=R^{2}(\theta+\theta+\theta+\theta - 2\pi)=R^{2}(4\theta - 2\pi)$ (здесь $R$ - радиус сферы). Правильно?
Если в прямоугольных координатах: центр сферы пусть в начале координат. Вершины:

$$ v_{1} = (A, B, C),\qquad v_{2} = (A, -B, C),\qquad v_{3} = (A, -B, -C),\qquad v_{4} = (A, B, -C). $$

Также имеем сферы соотношение: $A^{2} + B^{2} + C^{2} = R^{2}$.
Во-первых, как найти зависимость между $\theta$ и сторонами $a$, $b$?
Во-вторых, как находить отражение при "сгибании" по дуге, проходящей через центр сферического прямоугольника?
Про уравнение сторон - пока не понял. Можно подробнее, с примером?

[dgwuqtj]

Можно найти поляры к сторонам, это $\frac{v_1 \times v_2}{|v_1 \times v_2|} = \frac{(C, 0, -A)}{\sqrt{A^2 + C^2}}$, $\frac{v_2 \times v_3}{|v_2 \times v_3|} = \frac{(B, A, 0)}{\sqrt{A^2 + B^2}}$, $\frac{v_3 \times v_4}{|v_3 \times v_4|} = \frac{(C, 0, A)}{\sqrt{A^2 + C^2}}$ и $\frac{v_4 \times v_1}{|v_4 \times v_1|} = \frac{(B, -A, 0)}{\sqrt{A^2 + B^2}}$. Далее, угол между сторонами - это дополнительный угол к расстоянию между их полярами (если ориентировать стороны одинаково), то есть $\cos \theta = -\frac{(C, 0, -A)}{\sqrt{A^2 + C^2}} \cdot \frac{(B, A, 0)}{\sqrt{A^2 + B^2}} = -\frac{BC}{\sqrt{A^2 + B^2} \sqrt{A^2 + C^2}}$. Видно, что сам $\theta$ тупой, так что знак правильный. Площадь у вас написана правильно.

А дальше вы берём поляру $p = (0, X, Y)$ к прямой, относительно которой сгибаете (где $X^2 + Y^2 = R^2$), отражение задаётся формулой $u \mapsto u - 2 p (x \cdot p)$. Можете применять его к вершинам, можете сразу к полярам сторон. Только в случае со сторонами надо следить за ориентацией, ну и понимать, какие именно стороны ограничивают пересечение (там треугольник или пятиугольник в общем положении, кажется), а также в каком порядке.

Если вдруг захотите это делать в геометрии Лобачевского, в принципе всё то же самое, только вместо сферы гиперболоид и в формулах добавляются знаки.

[e7e5]

dgwuqtj в сообщении #1631172 писал(а):

Далее, угол между сторонами - это дополнительный угол к расстоянию между их полярами (если ориентировать стороны одинаково), то есть $\cos \theta = -\frac{(C, 0, -A)}{\sqrt{A^2 + C^2}} \cdot \frac{(B, A, 0)}{\sqrt{A^2 + B^2}} = -\frac{BC}{\sqrt{A^2 + B^2} \sqrt{A^2 + C^2}}$. Видно, что сам $\theta$ тупой, так что знак правильный. Площадь у вас написана правильно.

Учитываем: $\frac{(C, 0, -A)}{\sqrt{A^{2} + C^{2}}} = \frac{(C, 0, -A)}{\sqrt{R^{2} - B^{2}}}$,

$\frac{(B, -A, 0)}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} = \frac{(B, -A, 0)}{\sqrt{R^{2} - C^{2}}}$.

Получается, что $\cos\theta =\frac{B}{\sqrt{R^{2} - B^{2}}}\, \frac{C}{\sqrt{R^{2} - C^{2}}}$

Пусть $2\varphi_{1}$ угол между $v_{1}$ и $v_{2}$, $a = 2R\varphi_{1}$ - длина соответствующей стороны сферического прямоугольника, $\varphi_{1} = a/(2R)$, и $B/R = \pm\sin\varphi_{1}$.
Аналогично определим
$2\varphi_{2}$ между $v_{1}$ и $v_{4}$, $b = 2R\varphi_{2}$, $C/R = \pm\sin\varphi_{2}$.

В итоге

$$ \cos\theta = \frac{B}{\sqrt{R^{2} - B^{2}}}\, \frac{C}{\sqrt{R^{2} - C^{2}}} = \pm \tg\frac{a}{2R} \tg\frac{b}{2R}. $$

Площадь в зависимости от сторон $a$, $b$ сферического прямоугольника
$S= R^{2}(4\theta - 2\pi) = R^{2}(2\pi - 4\arccos(\tg\frac{a}{2R} \tg\frac{b}{2R}))$. Вроде так?

Поясню, интересует вопрос нахождения площади пересечения при сгибании сферического прямоугольника - и далее проанализировать, под каким углом сгибать, чтобы минимизировать пересечение.
Если бы сгибали прямоугольник на плоскости, например длинный, то сгибали бы под углом $\frac{\pi}{4}$ ( а есть ли подобная ситуация для сферы?). И да, на плоскости будут возникать пятиугольники, треугольники, четырехугольники. А что со сферой?

[dgwuqtj]

Вообще $\sin \varphi_i > 0$, так что там знаки не нужны. А вот $\cos \theta < 0$, так что формулу для площади надо менять.

[e7e5]

dgwuqtj в сообщении #1631288 писал(а):

Вообще $\sin \varphi_i > 0$, так что там знаки не нужны. А вот $\cos \theta < 0$, так что формулу для площади надо менять.

С учетом $\cos \theta < 0$, расписываю так:

$$ \cos\theta = -\frac{B}{\sqrt{R^{2} - B^{2}}}\, \frac{C}{\sqrt{R^{2} - C^{2}}} = -\tg\frac{a}{2R} \tg\frac{b}{2R}. $$

$S= R^{2}(4\theta - 2\pi) = R^{2}(4(\pi-\arccos(\tg\frac{a}{2R} \tg\frac{b}{2R}))-2\pi)=R^{2}(2\pi - 4\arccos(\tg\frac{a}{2R} \tg\frac{b}{2R}))$.
Где-то ошибка?

[dgwuqtj]

Нет, это я невнимательно прочитал. У вас всё верно.

[e7e5]

dgwuqtj в сообщении #1631172 писал(а):

А дальше вы берём поляру $p = (0, X, Y)$ к прямой, относительно которой сгибаете (где $X^2 + Y^2 = R^2$), отражение задаётся формулой $u \mapsto u - 2 p (x \cdot p)$. Можете применять его к вершинам, можете сразу к полярам сторон. Только в случае со сторонами надо следить за ориентацией, ну и понимать, какие именно стороны ограничивают пересечение (там треугольник или пятиугольник в общем положении, кажется), а также в каком порядке.

Пока не очень понял, и, наверное, с полярами.
"Перегибать" сферический прямоугольник мне нужно (по аналогии с плоским случаем) через его "центр" (точку пересечения диагоналей - совпадает ли с центром?) под каким-то углом $\alpha$. Могли бы, пожалуйста, пояснить детальнее, как задается отражение, как применить для нахождения вершин, поляр?

Вот для плоского прямоугольника понятно: находим зависимость площади пересечения от угла перегиба. Далее исследуем функцию на минимум с учетом геометрии пересечения (пятиугольник, треугольник).
А нет ли какого-то отображения, чтобы свести решение к плоскому случаю, а потом вернуться к исходному?

[dgwuqtj]

e7e5 в сообщении #1631406 писал(а):

Могли бы, пожалуйста, пояснить детальнее, как задается отражение, как применить для нахождения вершин, поляр?

Ну вот вы берёте $p = (0, R \cos \alpha, R \sin \alpha)$ и по формуле смотрите, куда перейдут вершины и полюса сторон (я всё напутал в терминологии, поляра - это прямая по отношению к своему полюсу). В частности, $R \frac{v_1 \times v_2}{|v_1 \times v_2|}$ перейдёт в $\frac{(RC, 0, -RA)}{\sqrt{A^2 + C^2}} - 2 (0, R \cos \alpha, R \sin \alpha) (\frac{(C, 0, -A)}{\sqrt{A^2 + C^2}} \cdot (0, \cos \alpha, \sin \alpha)) = \frac{(RC, RA \sin 2 \alpha, -RA \cos 2 \alpha)}{\sqrt{A^2 + C^2}}$, ну и так далее. Потом находите углы между полюсами (то есть углы между сторонами нужного вам многоугольника, с точностью до вычитания из $\pi$) и считаете площадь. Единственно, что это будет страшное выражение из арккосинусов, но вдруг у него экстремум ищется разумным образом.

К плоскому случаю вряд ли получится свести, по идее в сферическом случае все формулы и ответы устроены сложнее.

[e7e5]

dgwuqtj в сообщении #1631172 писал(а):

А дальше вы берём поляру $p = (0, X, Y)$ к прямой, относительно которой сгибаете (где $X^2 + Y^2 = R^2$), отражение задаётся формулой $u \mapsto u - 2 p (x \cdot p)$.

Пожалуйста, поясните, как получилась формула, задающее отражение?

[dgwuqtj]

Отражение $S$ - это линейное отображение, которое сохраняет ортогональное дополнение к $p$ и переводит $p$ в $-p$. Значит, $S(x) = x + (x \cdot p) v$ для некоторого вектора $v$ (чтобы $S(x) - x$ обнулялось на плоскости $\{x \mid x \cdot p = 0\}$) и $S(p) = -p$. Подставив формулу для $S$ в последнее равенство, получим $v = -\frac{2p}{R^2}$.