Подробнее Вы и сами уже всё написали: неверно они пишут континуальную часть (хотя детский интеграл сосчитали правильно, вот ещё не хватало чтобы они не сумели бы его сосчитать

).
А именно: а) плотность состояний они не учли, б) к безразмерному вкладу от дискретного спектра прибавляют свою ошибочную размерную континуальную часть, в) и это не опечатка, т.к. этот ошибочный интеграл у них написан в четырёх местах и вычислен.
Ну и, на мой взгляд, признаком безграмотности служит запись шпура оператора

в виде двойной суммы по энергиям; надо суммировать диагональные элементы по квантовым числам, а не по значениям энергии. (Правда, для атома водорода они в итоге написали-таки сумму по

и вырождение дискретного спектра учли). А для непрерывного спектра у них написан двойной интеграл по энергии без учёта плотности состояний - никчёмная запись, в итоге ошибочная.
-- 28.02.2024, 03:52 --Их манипуляцию с расходящимся рядом комментировать воздержусь (это дело опытных теоретиков, а я в такой математике не спец). Мне представляются более-менее понятными физические соображения, написанные по поводу этого сюжета Р. Пайерлсом в книжке "Сюрпризы в теоретической физике".